三角関数の合成の方程式

Question

【0≦ｘ＜2πのとき、sinx+cosx=1/√2を解け。】という問題です。

合成して、　　　 sinx+cosx=√2sin(x+π/4)、
方程式は √2sin(x+π/4)=1/√2
        　　　　　　　sin(x+π/4)=1/2
　
0≦ｘ＜2πから、π/4≦x+π/4＜9/4π

…教科書を見ながら解いて、ここまでは理解できたのですが、
この先どうやってｘの値を出せばいいのか分かりません。

分かりやすく教えて下さい。宜しくお願いします！

yasoukyoku415 · Accepted Answer

ここまでくれば後すこしです☆

ｘ+（π/4）＝θと置きましょう

すると、
sinθ＝1/2

これを満たすシータは？？
π/6、5π/6ですね☆

これを元にｘを計算すればOKです。
θ＝π/6の時
ｘ+（π/4）＝π/6
ｘ＝（π/6）-（π/4）＝-π/12
0≦ｘ＜2πよりこの解は不適...と思いきや
-π/12は23π/12と同じなので※23π/12の方を採用☆
※２π足す（一周しても同じ角度だから）

θ＝5π/6の時
ｘ+（π/4）＝5π/6
ｘ＝（5π/6）-（π/4）＝7π/12

よって答えは
ｘ＝7π/12、23π/12

どうでしょう？質問あれば書いてくださいね☆

yasoukyoku415 · Answer

＞-π/12が範囲外なのは、マイナスがついているから…ということで良いのでしょうか？

そうです☆(*^-^)ニコ

ｘの範囲は「0≦ｘ＜2π」なので、これを考慮すると「-π/12」という答えは範囲外となってしまいます＞＜

０度と360度が同じ角度とみなせる考え方で

-π/12とこたえずに「23π/12」と答えないとNGなのです＞＜

あらわしている物は同じでも、表現を変えないとだめなんです＞＜

yasoukyoku415 · Answer

yasoukyoku415です。補足いたします。

23π/12という解に疑問を持つかも知れないと思ったので
補足説明します。
θ＝π/6の時を考えたとき、答えが-π/12になりましたね。
これが範囲外ならπ/6から一周した（2π足した）13π/6でも計算してみるんです。
θ＝13π/6で計算すると答えは「ｘ＝23π/12」とでます。

しかし、そもそも「θ＝13π/6」ってやってるけど、θの変域的にOKなにか？？って悩みますよね？

大丈夫です「π/4≦θ＜9/4π」の後ろの「9/4π」の分母を12に通分してみてください。
9π/4＝27π/12
ね？
13π/6＝26π/12でギリギリセーフでしょ？？

このようにｘの変域が
「0≦ｘ＜2π」と１周バッチリある場合は必ず答えが2つあります。
コサインの場合も同じです。
うまく数値を操って２つの答えを答案に書きましょう☆

tomokoich · Answer

sin(x+π/4)=1/2まで導き出せているので
sin(x+π/4)=1/2になる角度x+π/4をπ/4≦x+π/4≦9/4πから出せばいいと思いますx+π/4=5/6π
x=7/12π

gohtraw · Answer

ｘ＋π／４＝Θ
とでもおいてπ/4≦Θ＜9/4πの範囲でsin(Θ)=1/2となるΘを求め、そこからπ／４を引けばそれがｘです。

noname#137826 · Answer

惜しい！答えまでもうすぐのところまで来ています。

sinθ = 1/2 になるθは？と聞かれたら答えられますか？
θ = π/6, 5π/6ですね。
つまり、x+π/4 = π/6, 5π/6 を解けばいいのです。
π/4≦x+π/4＜9/4πですから、実際には、x+π/4 = 5π/6 を解けば答えが得られます。

ここまでくれば後すこしです☆