基底を求める問題について

Z ={f(x) = a3x＾3 + a2x＾2 + a1x + a0 | f(－1) =f(1) =0}

の基底を求めろっていうとき、どうすればいいんでしょうか。

No.1 回答者： Takuya0615 回答日時： 2010/12/08 10:26

a=-1/2±√i/2

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/12/08 11:03

当該条件を満たすもの (かつ独立なもの) を必要な数だけリストアップする.

場合によっては「それで基底となっていること」も証明しなきゃダメ.

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/12/08 17:42

まず、基礎体を指定する。

全ての話は、それからだ。

No.4 ベストアンサー 回答者： ramayana 回答日時： 2010/12/08 22:25

基礎体をKとして、Kを係数とする3次以下の多項式全体をK[X;3]とします。

K[X;3]は、X^3、X^2、X、1を基底とする、K上の4次元ベクトル空間です。

（１）　Kの標数が2のとき、

　　Z = {(X-1)g(X)|g(X)は2次以下の多項式}

です。よって、Zは、K[X;3]の3次元部分空間です。Zの基底は、上の式から明らかでしょう。

（２）　Kの標数が2以外のとき、

　　Z = {(X-1)(X+1)g(X)|g(X)は1次以下の多項式}

です。よって、Zは、K[X;3]の2次元部分空間です。この場合も、Zの基底は、上の式から明らかでしょう。

蛇足ですが、有理数、実数、複素数などを係数に考えているのなら、（２）に相当します。