解答のヒントをお願いします。

次の問題で、図は書いたのですがまったく分かりません。
解答のヒントをお願いします。できればそうなる根拠もお願いします。

放物線C:y=x^2と直線l:y=mx+1/4の交点をA(α,α^2),B(β,β^2)とし、点AにおけるCの接線をl1、点BにおけるCの接線をl2とする。l1,l2の交点をPとし、三角形ABPの重心をGとする。α<βとして、以下の問いに答えよ。
（１）２直線l1,l2のなす角を求めよ。
（２）mが実数値をとって変わるとき、点Gの軌跡を求めよ。
（３）三角形ABPの面積が２のとき、mの値を求めよ。

No.3 ベストアンサー 回答者： tmpname 回答日時： 2010/12/10 00:16

面倒なので以降αはa, βはbで。

根と係数の関係を常に考えておきましょう。
a+b=m, ab=-1/4です。
a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2abなどと変形できる事も
注意しましょう。

(1)
L1の傾きは2a, L2の傾きは2bです。
これらの積(2a)(2b) = 4abがいくらかを考えてみましょう。
ほぼ答えですが、2直線が直交する時の条件は
何だったでしょうか。

(2)
L1, L2の方程式、P, Gの座標を（この順に）丁寧に計算
しましょう。この時a, bの値をmで表すことを
「せずに」a, bのまま計算してみてください。
途中結果として Pが((a+b)/2, ab)になるはずです。
3点の重心がどのような式で表されるかも確認しましょう。

Gまで求められたら、根と係数の関係を使って
Gのx, y座標をmで現して見ましょう。
Gxはmの1次式、Gyはmの2次式になるはずです。
結果としてGの軌跡はある放物線になるはずです。

(3)
(1)より三角形ABPの面積Sは(1/2)*AP*BPです。
AP, BPを丁寧にaとbとで表してSの式をだし、
その後根と係数の関係を用いてSをmで表しましょう。
結果としてmの値は案外きれいな値になるはずです。

この回答への補足

（１）で２αと２βについてですが、なぜ直交するときを考えるのでしょうか？
ｌ１とｌ２は直交しているということですか？

補足日時：2010/12/11 17:50

No.4 回答者： longsu 回答日時： 2010/12/11 10:48

＞（３）三角形ABPの面積が２のとき、mの値を求めよ。

ほかの問題への応用についてはなんともいえませんが、この問題に限っては、（β－α）を未知数にしてやると答えが見えてくるかもしれません。

ちなみに私のやり方は以下のとおりです。
点Pからｙ軸に平行に直線ＡＢに向かって線を引きその交点をＣとします。
線分ＣＰを底辺とする二つの三角形△ＡＰＣと△ＢＣＰの面積を計算します。
それぞれの三角形の高さは、点Ａ点Ｐのｘ座標の差、点Ｂ点Ｐのｘ座標の差になります。

次の式までは届くと思いますが、

1/2　*　1/2　*（m^2　+1）（β－α）　=　2

ここでβ－αをmで表そうとすると、まず解けそうな方程式にはなりません。
でも逆にm^2をβ－αとβα（=　-1/4）で表してやると、あっさりとした式になります。

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2010/12/09 22:13

ベクトルＰＡとＰＢを考え、その内積から余弦を導くのはいかがでしょう？

No.1 回答者： tooa89 回答日時： 2010/12/09 20:57

解いてないからわからんけど、こういう問題なら接線の傾きをtanとして見るといいかもね