KerとImの基底を求める問題がわかりません。

u1 , u2 , u3 をUの基底とし
v1 , v2 , v3 をVの基底とする。

また、線形写像 T:U→Vは、
T（u1） = 3*v1 + v2 + v3
T（u2） = v1 + 2*v3
T（u3） = 2*v1 + v2 - v3 をみたすとする。

（１）Tの与えられた規定に関する表現行列を求めよ。
（２）TのKerとImの基底を求めよ。

という問題なのですが、（２）がわかりません。
（１）の答えは
3 1 2
1 0 1
1 2 -1
間違ってた場合（１）も解説お願いします＾＾；

(２)は（１）を簡約したところで止まってしまいました＾＾；
（kerはu1,u2,u3を使って出てくる、imはv1,v2,v3を使って出てくるというヒントがあったのですが、その形にどうやればなるのかが分かりませんでした。）

もしわかる方がおられましたらお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/12/17 10:18

あ、そだ。

Im T の基底が｛ v1+v2-3v3, 3v1+v2+v3 ｝
の間違いでしたね。失敬、失敬。
もともと(1)ができたことから見ても、
質問氏は要点を掴んでいるのだと思います。
それでいいんですよ。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/12/17 00:11

（２）は、（１）の行列の Ker と Im を普通に計算すればよいです。

求まった Ker T と Im T の基底は、それぞれ、
Ker T が U の基底 { u1, u2, u3 } 上での成分表示、
Im T が V の基底 { v1, v2, v3 } 上での成分表示になっています。

例えば、（１）を対角化すれば、
Im T の基底は、成分表示で { (1,1,-3), (3,1,1) } と求まりますが、
これは { u1+u2-3u3, 3u1+u2+u3 } が基底であることを意味しています。
「Ker は u1, u2, u3 を使って出てくる」というヒントは、
そのことを言っているのでしょう。

考えかたは、（１）を成分計算したときと同じですね？

この回答への補足

>>Im T の基底は、成分表示で { (1,1,-3), (3,1,1) } と求まりますが、
>>これは { u1+u2-3u3, 3u1+u2+u3 } が基底であることを意味しています。
多分、2行目はu→vだと思いますが、その数字はでました。
普段は基底が標準基なので、出たそのままの数が基底（たとえば、(1,1,-3), (3,1,1)）となるけど、実は、（e1 e2 e3）(1 1 3)（←これは縦に）を計算してe1+e2+3e3=(1 1 3)としていたということでしょうか？

補足日時：2010/12/17 00:32

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/12/16 23:56

(1) はそれで OK.

(2) だけど, あなたのいう「簡約」とはどういう処理で, その結果何が得られたのですか?
そもそも kernel とか image とかは理解できていますか?