arctanについて

１/ｙ＾２＋１を積分したときにarctanになることは理解したのですが、
積分区間が0から∞のときにπ/２になる理由がわかりません。

どなたかご教授いただけませんか？

なおこの問題はLebesgue積分の一部の計算から引っ張ってきています。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/12/22 15:21

まづ第一に、

広義積分を含めてリーマン積分が収束するときには、
ルベーグ積分も収束して、両者の値は一致します。
だから、この問題は、
リーマンの広義積分で考えてよい。

arctan の枝選択は、積分定数に吸収されますから
arctan(0)=0 の枝で考えれば十分で、
その際、lim[x→∞]arctan(x)=π/2 です。

最後の lim に関して疑問があるようなら、
中学生向けの参考書で tan の定義を確認するか、
大学生向けの特殊関数のテキストで
π の定義を確認するとよいでしょう。

この回答へのお礼

あの後確認してようやく理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/01/12 22:49

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/12/22 13:37

arctan が何物か理解できていますか?

あと, 「１/ｙ＾２＋１を積分したときにarctanになる」というのは正確な表現ではありません. ふつう 1/y^2+1 と書いたらこれは (1/y^2)+1 を意味するものだし, 「arctan」といっても引数が何かわからないでしょ?

この回答への補足

では少し正確に。


∫0から∞1/(y^2+1)dyを計算して、[arctan（y）]０から∞までは
理解しているのですが、

講義ノートにはその値がπ/２と書いてあるので、
その理由をご教授いただきたいので投稿しました。

補足日時：2010/12/22 13:53