10種類のドーナツから３つのドーナツを選ぶ

こんにちは。
　組合せの問題で、１０種類のドーナツから３つのドーナツを選ぶと何通りか？

　調べていくと、公式H
　　 組合せCを使えば、　n+r-1Cr の公式に代入し、13C3＝220通りと出ますが、
　意味がよくわかりません。

　　仕切りを使い考えるとよいと思いますが、どのように考えるとよいのかを
教えてください。

No.1 回答者： Willyt 回答日時： 2011/01/26 12:15

これはまず、３つのドーナツが必ず違ったものという前提が必要になりますから、その前提で・・・

まず、３つのドーナツの選び方は１０×９×８＝７２０通りあることはすぐに分りますね。ところがその中には組み合わせが同じで順番だけが違っているものが混じっています。求めるドーナツの選び方一つを採ってみると、その一つに対し、順番が違う組み合わせが３×２×１＝６通りあることがわかります。そうすると求める組み合わせは７２０を６で割った１２０通りというのがその答えになります。

この回答への補足

早々にありがとうございます。１０個とは記載なく、１０種類とありました。
　異なる１０個のものから異なる３個を選ぶならば、10C3で１２０になりましたが。

補足日時：2011/01/26 12:28

No.2 ベストアンサー 回答者： Tofu-Yo 回答日時： 2011/01/26 12:56

僕は高校のときこう解釈しました。

この問題で当てはめて説明すると、まず縦９横３のマス目を書いてください。
結論から言うと一番左下頂点から一番右上の頂点までの最短経路の数に等しいことになります。

まずこの図では10本の横線がありますがこれが10種類のドーナツに対応します。下からドーナツ１、ドーナツ２、…、ドーナツ10と名前をつけることにして、貴方は今一番左下頂点にいます。

まずドーナツ１を何個選ぶか決めます。０個なら↑、１個なら→↑、２個なら→→↑、３個なら→→→↑と進みます。これを繰り返して最後に一番右上に行けばいいのですが、左や下への後戻りはダメです。右には合計３回しか進めません。このことはドーナツを３個だけ選ぶことに対応しています。

したがってこの経路の選び方とドーナツの選び方の総数は等しいことがわかります。

あとは、最短経路の問題です。テキストとかに乗ってると思うので確認してみてください。

この回答へのお礼

ありがとうございました。最短経路の問題として考えることもできるとは。

お礼日時：2011/01/26 16:43

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2011/01/26 14:53

仕切りを使って考えるなら、

nHr=(n+r-1)Cr
より、
nHr=(n+r-1)C(n-1)
で憶えておくほうがいいでしょう。（両方とも同じ値になります）


１０種類のドーナツから３つ選ぶ場合は、
「ドーナツ３つを並べておいて、その間に仕切りを９本入れて１０個の領域に分ける」
と考えれば、３＋９個の中から９個選ぶことと同じなので、
12C9
となり、
12C9=12C3=220
となります。

この回答へのお礼

仕切りを９本として１０に分ける考え方が。
　ありがとうございます。

お礼日時：2011/01/26 16:44

No.4 回答者： Willyt 回答日時： 2011/01/26 16:11

>異なる１０個のものから異なる３個を選ぶならば、10C3で１２０になりましたが。

　ですから、選んだ３個は同じものがないなら１０個と同じですよね。既に選んでしまったドーナツは何個あってももう選ぶことができませんから２個以上あっても１個と同じです。もし同じものが混じっていいなら、これはちょっと複雑になります。２個が同じものは同じものを１０通り選べます。そして残りは９通りですから９０通り。３個とも同じならこれは１０通りですよね。全部を足し合わせると２２０になりますね。