定数ａのｎ乗根の極限（ｎ→∞）について

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質問者：poodlekuro
質問日時：2011/02/12 18:15
回答数：2件

ｎ√ｃ（定数ｃのｎ乗根）　　・・・☆　はｎ→∞で１に収束しますか？
また、その導き方も教えてください。

√の中に（ａのｎ乗＋ｂのｎ乗）が入った関数の極限（ｎ→∞）を求める問題を解いていて、
主要項√（ａのｎ乗）（ａ＞ｂの場合）で括ったのはいいんですが、☆がどうなるのか分からず困っています。
分かりにくい文で申し訳ありませんが、数学の得意な方、よろしくお願いしますm(__)m

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回答 (2件)

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No.1ベストアンサー

回答者： naniwacchi
回答日時：2011/02/12 18:41

こんばんわ。

「n乗根」「n√」と表しているとわかりにくかもしれませんね。
これを「1/n乗」ととらえられれば、見やすく分かりやすくなると思います。

lim[n→∞] n√c
＝ lim[n→∞] c^(1/n)
＝ lim[t→0] c^t　（t＝ 1/nとおいて）
＝ 1

あと、定数：cについては「正の数」という条件もお忘れなく。

- 1
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この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます！
説明も非常に分かりやすく理解できてすっきりしました。
来年受験なんで頑張ります(*^o^*)
ありがとうございましたm(__*)m

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お礼日時：2011/02/12 20:27

No.2

回答者： alice_44
回答日時：2011/02/12 19:32

ん？

0＜b＜a より 1＜1+((b/a)のn乗)＜2 の
各辺のn乗根をとってから n→∞ とする
という流れは大丈夫なんだよね？

- 3
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YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
　n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、

　a(n+1)/a(n) = [(n+1)^2/3^(n+1)]/[n^2/3^n]

と比をとってみると、

　a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 … (3)

ですが、nが大きいときには、2/n ＜ 1, 1/n^2 ＜ 1 なので、(3)は、

　a(n+1)/a(n) ＜ 1

となり、単調に減少することがわかります。
まずこの時点で発散はしないことがわかります。
また、a(n) ＞ 0 なので、lim_{n→∞} a(n) ≧ 0 となります。

もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
　a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
　a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。

従って、
　lim_{n→∞} a(n) ＝ 0 … (4)
が得られます。

[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
n＞10で、
　a(n+1)/a(n) ＜ [1 + 2/10 + 1/100]/3 ＜ 2/3
故に、n→∞ のとき、
　0 ＜ a(n) ＝ [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
　　　　　　＜ (2/3)^{n-11}× a(11) = (2/3)^n × (3/2)^{11}a(11) → 0
故に
　lim_{n→∞} a(n) ＝ 0
が得られる。
（別証終わり）

[(2)について]

まず感覚的なことを説明しますと、nが大きいとき、2^nは3^nに比べてはるかに小さくなるので、基本的に、lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の、2^n+3^nの部分は3^nに近づくことがわかり、問題の式は(3^n)^{1/n}=3 になることが予想されます。

これを式で言うには、対数をとるより、

　lim_{n→∞} [3^n×{1+(2/3)^n}]^{1/n}
　= lim_{n→∞} 3×[1+(2/3)^n]^{1/n} … (5)

と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
　[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
　(5) = 3
になります。

なお、(6)が明らかと思われない場合は、
　1 ＝ 1^{1/n} ＜ [1+(2/3)^n]^{1/n} ＜ 1+(2/3)^n → 1
（∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a ）
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
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というのも、こんな成績で恥ずかしながら運良く入試がよく解けて大学の特待生として入学したので、傑出していなければ落とされてしまうのではと不安でたまりません。
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回答よろしくお願いします。

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ITPの場合は、満点が677点。でCBTやibtとの換算表においては、PBTとまったく同じ点数となります。
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443点ということは、cbtで127、ibt43と同じということですが、ibt43が高校卒業と同じぐらいのレベルですから、大学1年生としては妥当なスコアだと思います。これから努力すればスコアは上げられますよ。
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距離空間はご存知でしょうね。

Ｘをある位相空間、ＡをＸのある部分集合とします。
x∈ＸがＡの集積点であるとは
xの任意の近傍とＡの共通部分にx以外のＡの点が少なくとも１つは含まれる
ような点のことです。
Ｘが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のＡの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈ＸがＡの集積点であるとは
「xのどんな近くにも（x以外の）Ａの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈ＸがＡの孤立点であるとは
xがＡの要素であり　　…(S1)
かつxのある近傍とＡの共通部分にx以外のＡの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Ｘが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなＡの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈ＡであることはxがＡの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがＡの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Ａの点でないような
Ａの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Ａの要素に対して与えられる概念ですから、Ａに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをＡの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間（ユークリッド空間）での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例（１）Ｘを２次元ユークリッド空間として
Ａ={(x,y)∈Ｘ| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりＡは原点中心半径１の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとＡの集積点（の集合）は
{(x,y)∈Ｘ| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径１の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例（２）Ｘを２次元ユークリッド空間として
Ａ={(x,y)∈Ｘ| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Ａの集積点（の集合）はＡ自身と集合
Ｂ={(0,y)∈Ｘ| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例（３）Ｘを１次元ユークリッド空間として
Ａ= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はＡの集積点です。しかしＡ自身の点はすべて孤立点です。

例（４）Ｘを１次元ユークリッド空間として
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Ａ= { x∈(0,1)｜xは有理数 }
とします。Ａの集積点（の集合）は閉区間[0,1]です。