行列。下図の行列が何故以下のようになるか？

Question

下の図の行列が何故以下のようになるのでしょうか？

見えにくくてすみません。

よろしくお願いします。

WiredLogic · Accepted Answer

先に、ツッコんでおくと、行列でなく、行列式、関係はありますが、別物なので、ゴッチャにしないよう気をつけてください。
それと、上の式から下の式に移るとき、v が y に化けてしまってます^^。言いたいことは解るので、問題ありませんが…

ここでやっているのは、余因子展開という奴で、行列式の値を求める、一番基本の計算のしかたです。「余因子展開」そのものや、何故そうなるのか、などは、ここで、とても書いていられないので、教科書やネットで調べてみてください。

ただ、普通の教科書やネットの記述では、このあたりの説明は、訳が解らないことが多く、ある程度、練習して、慣れてからの方が、まだ解り易いと思うので、計算に必要な部分だけ説明しておきます。

例えば、行列式の第１行第２列の要素に注目します。問題の行列式では、v[i]がそうですね。で、v[i]の「余因子」を求めます。

「余」っていうくらいなので、取り去った残りを考えればいいのですが、この場合には、第１行の要素、第２列の要素を全部取り除いてしまいます。残っているのは、第２行の、1 と v[j]、第３行の、１とv[k] だけ、これで、２行２列の行列式ができます。

この２行２列の行列式に、(-1)の(1+2)乗(この1,2は第１行第２列の1,2)をかけたものが、v[i]の「余因子」です。

で、行列式の値は、ある行か列の要素全部に対して、要素×余因子を求めて、全部足してやると、求まります。
これが「余因子展開」で、問題では、第２列で余因子展開、つまり第２の要素、v[i],v[j],v[k]について、余因子を求めて、要素にかけて、それを全部足す、という計算をしたものになってます。

符号の違いは、余因子の「×(-1)^(行番号+列番号)」の違い、行列式の部分は、ちゃんと、問題の要素の縦横の要素を取り除いた残り、になってますよね。

alice_44 · Answer

余因子展開くらい覚えとけ…てのも、あんまりなので、
証明の概略が書いてあるページ↓
http://homepage2.nifty.com/eman/math/linear03a.html

info22_ · Answer

行列式のもっとも基本的な計算法の１つですので習っているはずです。
教科書の行列式の計算の所に余因子展開法やその演習例題が載っていますので復習されることを勧めます。

なお、参考URLにも余因子展開法とその例題が載っていますので読んでマスターしておいて下さい。

参考URL
http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2003.linear-algebra-I/html.dir/node33.html

参考URL：http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2003.linear-algebra-I/html.dir/node33.html

先に、ツッコんでおくと、行列でなく、行列式、関係はありますが、別物なので、ゴッチャにしないよう気をつけてください。