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命題「PならばQ」で、Pが偽のとき、Qの真偽に関わらず
「PならばQ」が真になるのが、納得できません。

よい説明がありましたらお願いします。

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A 回答 (11件中1~10件)

これはすでに語り尽くされた問いで,この問いへの答えだけで本が1冊書けてしまう… というのは決して誇張ではなく,



鈴木登志雄(著)「論理リテラシー」培風館

という本はまさに「この問いへの答え」を1冊の本にしてしまったようなものです.

私としては次のように答えておきます.

(1) Pが偽のとき,「PならばQ」は『真になる』のではなく,『真とする』のです.つまり,「PならばQ」という命題の真偽をそのように『定める』のが,数学の世界で合意された約束事です.
(2) なぜそのように定めるのかという理由は,
-- 数学の論理を理論化して形式的に扱えるようにする
-- そのうえで,数学の論理で通常用いられる「ならば」という語と折り合いをつける
ためには『そのように定めるのが都合がよい』からです.
(3) なぜそのように定めると都合がよいのか? この段階で,いろんな説明が試みられています.でも,それを心底『納得』するには,たぶん,自分自身で数学の論理を扱う経験を重ねることで,「数学の論理とは何か」を洞察できるだけの成熟した理解に達する必要があるでしょう.
(4) (数学以外の文脈で用いられる)日本語の「ならば」とどうやって折り合いをつけるのか? これは数学というより文学の問題で,前掲の鈴木登志雄氏の書をじっくり読んでください.
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この回答へのお礼

恣意的に「Pが偽の時、「PならばQ」が真になる」論理学を
採用するということですね。
ユークリッド幾何で平行線の公準を採用するように。

となれば非ユークリッド幾何のように、「Pが偽のとき、「PならばQ」が偽」の
論理学を組み立てても良さそうですね。

紹介してくれた本にもあたってみます。

お礼日時:2011/02/23 09:44

#3 のお礼のところだけど, それは何かを勘違いしています.


「本能寺の変がなかったならば、信長が天下統一してた」に対して「Pが偽なのに、命題の信長天下統一が真になってしまいおかしくないですか?」と書かれていますが, 「仮定が偽のときには条件文そのものが真である」というだけなので「信長が天下統一してた」が真であるか偽であるかについては何一つ言及していませんよ. 「命題の信長天下統一が真になってしまい」があなたの勝手な思い込みであることには注意してください.

本題については, 「文章で書いている」のが問題かもしれないね. 記号で「P→Q」とだけ書いておけばいいのかもしれない.
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この回答へのお礼

「信長天下統一」だけだとQですね。すみません。
正しくは「本能寺の変がなかったならば、信長が天下統一してた」でした。

お礼日時:2011/02/23 17:14

ドモルガンの法則には「条件文の仮定が偽なら真になる」ことは必要ないですよ。

だから、特に強い結果から導いているわけではありません。
対偶の方は説明の方便みたいなもんなので。むしろ「逆必ずしも真ならず」と「対偶と元の命題の真偽の一致」を要請すれば仮定が偽の時真にせざるを得ないという方が正しいです。このあたりは「論理学をつくる: 戸田山 和久」を読めばわかると思います。
いずれにせよ「説明」なんで。ちゃんとやるなら数理論理学の本をどうぞになっちゃいますね。
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あと、対偶と元の命題の真偽が一致することに納得できるのなら。



xを実数として

x=0ならばx^2?-1

は真なので、対偶の

x^2 < -1ならばx≠0

も真。これは仮定が絶対に成り立たないので、仮定が偽なら命題は真としないと困りそうなのはわかると思います。
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日本語で説明するなら



PならばQである

とは

Pの時必ずQである

って事、つまり、

「Pであって、しかもQでない」ってことは絶対に無い

となる。これは

「Pかつ(Qでない)」でない

だから、ドモルガンの法則から

(Pでない)またはQである

になるので、Pが偽ならば真になる。
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この回答へのお礼

ド・モルガンと対偶からの証明は
「Pが偽のとき、「PならばQ」が真である」ことより
強い方法なんでしょうか?
ただ「Pが偽のとき、「PならばQ」が真である」と定義したから、
なりたつ便利な法則なだけでは?
定義と証明の順番が逆立ちしてるように感じます。

お礼日時:2011/02/23 09:50

2<1 ならば 0<2<1


0<2<1 ならば 0<1
0<1 ならば  0+5<1+5
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それはそうなんだけど, かといって


2 < 1 ならば 2+4 > 1+4
っていわれるとやっぱり困りませんか>#4.
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2<1 ならば 2+3<1+3

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その話が典型例ですが、数学の論理では、日常の論理ならば、論理として成り立たないようなところまで、キチンと定義しておかないといけないので、理解はできるが、納得はできないところが出てくるのは、まぁ、仕方ないと言えば、仕方ないのですが…



こういう説明では、どうでしょうか?

P,Qの成り立つ範囲を表す集合を、A,B として、AがBに含まれる(か一致する)のと、P→Q、は等価。

Pが偽だと、Aは空集合、要するに空っぽ、
で、空集合は、空集合も含めて、どんな集合の部分集合にもなりうるから(これも、まぁ、決めのうちですが)
Qが真でも偽でも、AはBに含まれるので、P→Qは真、

世間で使う言葉を、こういう例に持ち出すのは、不正確だったり、誤解を生んだりする怖れも大きいのですが、
そこをあえて、やってみると、

「明日、お日様が西から昇ったら、お前さんに百万円やるよ」
「輜重輸卒(しちょうゆそつ)が兵隊ならば、ちょうちょ・とんぼも鳥のうち」
 (昔、兵站・補給を軽視していた、日本陸軍で、最前線で戦闘する兵士が、後方で補給任務を担当する兵士をさげすんでいった、戯れ歌)

などは、数学の論理と丸きり同じではありませんが、仮定が破綻してるしているときは、結論は、何を言っても構わない、という点は、共通しているといえるかも。
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この回答へのお礼

命題「本能寺の変がなかったならば、信長が天下統一してた」で考えると、
Pが偽なのに、命題の信長天下統一が真になってしまい
おかしくないですか?
ここまで信長天下統一を強く言えないと思いますが。

お礼日時:2011/02/23 09:41

PとQの相関関係は



1)P○ Q○
2)P○ Q×
3)P× Q○
4)P× Q×
の4通りが考えられます。

「Pが○ならQも○」というのは、1)はあって、2)はないということを意味しているだけです。
従って、3)、4)に関しては何も言及していません。
(「対偶でQが×ならPも×」も結果的には意味していますが・・・・)

これを実生活で考えると
「お父さんなら男性」
という命題は真です。
お父さんの対語は日本語としてはお母さんですが、お父さんでない人の全てはお母さんではありません。
子供のいない男性もいますし、子供のいる女性(お母さん)も子供のいない女性もいます。
従って、お父さんではない人の性別は不明です。
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この回答へのお礼

> 従って、3)、4)に関しては何も言及していません。
Pが×のときは、なにも言及してないので
「PならばQ」が真だと積極的に言えないですよね?

お礼日時:2011/02/23 09:34

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Q「PならばQ」と「(Pでない)またはQ」が同値?

タイトルの論理が理解できません
どうしてこうなるのですか?
分かりやすく説明してください・・・orz

Aベストアンサー

「ベン図を書けばわかります」というのが、まあ、回答ではあります。

これ、いろいろな意味でわかりにくいのは確かです。日常的には、「ならば」と「または」は、使い方が全然違いますから。
あと、日常的に、「PならばQ」は、「PでないならばQでない」という意味を含んでしまいやすいので、これも間違いの元ですね。
※数学的には、「PならばQ」と「PでないならばQでない(これは、元の命題の裏命題)」は、同じとは限りません。

さて、日常的に言えば、
「お手伝いをする ならば 100円あげよう」
ということで、これが「真」とします。
裏命題は、
「お手伝いをしない ならば 100円はあげない」
です。
これは、一見元の命題と同じ事を言っているように見えます。
しかし、「お手伝いはしてないけど、今日は、たまたまお小遣いをもらう日」だったかもしれません。
だから、「お手伝いをしてないけど 100円あげる」というのは、間違いとは限りません。

はっきり間違いなのは、「100円もらってないけど、お手伝いをした」ときだけです。

だから、P ならば Q が真の時、「(Qでない) かつ P」は偽になります。
(「お手伝いをしたら100円あげる」が真の時、「100円もらってない、かつ、お手伝いをした」は偽です)

一方、PならばQが、偽の時、「(Qでない)かつ P」真になります。
(手伝いをしたら100円あげるといって、「だます」つもりだったら、「100円もらってない、かつ、お手伝いをした」のは、うまくだまされてしまったことで、真です)

ということで、
「PならばQ」と、「(Qでない)かつP」は、「反対」ということになります。
(第一ステップ)

つまり、「PならばQ」と「(Qでない)かつP」の否定 が同値になります。
言い換えると、「(Qでない)かつP」の否定は、「Qまたは(Pでない)」です。
(最後は、ドモルガンの法則)

「ベン図を書けばわかります」というのが、まあ、回答ではあります。

これ、いろいろな意味でわかりにくいのは確かです。日常的には、「ならば」と「または」は、使い方が全然違いますから。
あと、日常的に、「PならばQ」は、「PでないならばQでない」という意味を含んでしまいやすいので、これも間違いの元ですね。
※数学的には、「PならばQ」と「PでないならばQでない(これは、元の命題の裏命題)」は、同じとは限りません。

さて、日常的に言えば、
「お手伝いをする ならば 100円あげよう」
とい...続きを読む

Qpならばqである の否定について

「pならばqである」を否定すると
「pかつ¬q」となると思いますが
この「pかつ¬q」というのは
「pならば¬qである、または、¬qならばpである」ということでしょうか?

Aベストアンサー

「ならば」の意味を国語的に考えないで、計算に持ち込むべき
であることは、前回質問のときにコメントしました。

で、論理式を計算してみましょう。
「pならば¬qである、または、¬qならばpである」を
そのまま式にすると、(p⇒¬q)∨((¬q)⇒p) です。
(p⇒q) = (q∨¬p) を使って変形すると…

(p⇒¬q) ∨ ((¬q)⇒p)
= ((¬q)∨¬p) ∨ (p∨¬¬q)
= (¬q) ∨ (¬p) ∨ p ∨ q
= p ∨ (¬p) ∨ q ∨ (¬q)
= 真 ∨ 真
= 真

この論理式は、恒真です。
「pかつ¬q」とは、だいぶ違うようですよ。

Q「空集合はすべての集合の部分集合である」の説明

忘れていた「空集合はすべての集合の部分集合である。」ということを、ふと思い出しました。

「はて、この証明は…?」ということで、考えたり、調べたりしたのですが、約束ごと(つまり定義)という説明があったり、論理学的に真理値表から導いていたりしていました。

高校の教科書では、「きまり」になっており、厳密な説明がなされていません。

わかりやすい、よい説明があれば教えてください。

Aベストアンサー

『集合Aが集合Bの部分集合である』とは、その定義から、『どんなxについても、x∈Aならばx∈Bである』と等価です
Aが空集合であれば、その定義から、どんなxについても、必ず『x∈A』は偽となります
命題『PならばQ』は命題Pが偽であれば命題Qの真偽にかかわらず真ですから、『x∈Aならばx∈Bである』も『x∈B』の真偽にかかわらず(すなわち、どんな集合Bについても)真になります

Q命題論理式の真理表の作り方が解りません。教えて下さい

(PならばQ)でないならば((QかつRでない)ならば((PならばQ)でない))
この問題の式の書き方と真理表の作り方が解りません、教えて下さい。

Aベストアンサー

真理値表は簡単です。
この場合,P,Q,R の3つの変数にそれぞれ 真、偽の2通りがあるので、
 2*2*2 = 8通り

まずは、その全組合せを列挙します。以下、t=真、f=偽とします
P,Q,R
f,f,f
t,f,f
f,t,f
t,t,f
f,f,t
t,f,t
f,t,t
t,t,t

漏らさずに列挙するコツは、
1つめは1個ずつ t,fを入れ替える
2つめは2個ずつ t,fを入れ替える
3つめは4個ずつ t,fを入れ替える
4つめは8個ずつ t,fを入れ替える
...
と機械的に基礎正しくやること。

そうしたら、一つずつ、その真偽の組合せで、元の式を評価します。
 (PならばQ)でないならば((QかつRでない)ならば((PならばQ)でない))
の場合、
P,Q,R=f,f,f なら
 (fならばf)でないならば((fかつfでない)ならば((fならばf)でない))
P,Q,R=t,f,f なら
 (tならばf)でないならば((fかつfでない)ならば((tならばf)でない))
P,Q,R=f,t,f なら
 (fならばt)でないならば((tかつfでない)ならば((fならばt)でない))
...


これをそれぞれ
P,Q,R,式
f,f,f,←のときの式の計算結果
t,f,f,←のときの式の計算結果
f,t,f,←のときの式の計算結果
...
と順番に計算して、表を埋めていくだけです。


式が簡単にできれば、計算も簡単になります。

真理値表は簡単です。
この場合,P,Q,R の3つの変数にそれぞれ 真、偽の2通りがあるので、
 2*2*2 = 8通り

まずは、その全組合せを列挙します。以下、t=真、f=偽とします
P,Q,R
f,f,f
t,f,f
f,t,f
t,t,f
f,f,t
t,f,t
f,t,t
t,t,t

漏らさずに列挙するコツは、
1つめは1個ずつ t,fを入れ替える
2つめは2個ずつ t,fを入れ替える
3つめは4個ずつ t,fを入れ替える
4つめは8個ずつ t,fを入れ替える
...
と機械的に基礎正しくやること。

そうしたら、一つずつ、その真偽の組合せで、元の式を評価します。
 (PならばQ)...続きを読む

Q今更聞けない「PならばQ」の考え方

甥っ子に質問され明確に答えられません、
P→Qの真偽について、P,Qに変数が入った場合、どうなるのか?

例1
P:x=3 Q:x^2=9 でP→Q の真偽を考えるとき 
これは任意のxについて考えるものなのでしょうか? この場合x=3が真の時x^2=9も真なのでP→Qは真。x=3が偽の時はQの真偽に関係なくP→Qは真なので、全てのxについて P→Q は真といえますが、
例2
P:x=3 Q:x^2=10 でP→Q の真偽を考えるとき
x=3が真なら x^2=10は偽で P→Qは偽になりますが、x=3が偽なら Qに関係なくP→Qは真。
これは真偽が不明ととらえるのでしょうか? それとも任意のxで真とならないので偽ととらえるのでしょうか?

私自身はこれまであまり深く考えなく、P→Qを if P then Q ととらえてましたので、「Pは真と仮定して」が暗黙のうちに隠されていると思ってました。すなわち P→Q は (Pが真)で P→Q を考えていましたが、皆さんはどうなんでしょうか?

Aベストアンサー

#24 MagicianKumaさん

>それで良いですよね

いいとおもいます。

Q論理学の入門書を読んでいて、「ならば」の説明でつまずいています

論理学の入門書を読んでいて、「ならば」の説明の部分で困っています。

読んでいる書物の原文を一文ずつ書き抜き、かつ左に各文番号を付けておきます。

↓からです。ちょっと引用が長くてすみません。
(01) 最後に p → q の真理値の問題にうつる。

(02) まず p、q を与えたとき、p → q を p から q が導かれるという意味ではなく、p と q から新しい命題 p → q を作るという意味に解釈する。

(03) p と q が真のとき、p → q という新しい命題を真とすることに異存はあるまい。

(04) のこりの場合については、p → q が新しい命題というのであれば、かなり自由に真理値を決めてもよいと考えられる。

(05) しかしなにか、適切な基準があれば、それに依存するのも悪くない。

(06) われわれは代数学を学びはじめたときから、p → q において、p が偽のときを暗黙のうちにあつかっているのである。

(07) 実際、たとえば、x を整数としたとき、x が6で割り切れると、x は2でも割り切れるといって、この命題は真であるとしている。

(08) これを記号を使って書くと、∀x ∈Z (x が6で割り切れる → x は2で割り切れる)(Zは整数の集合)(3.5)となる。

(09) (3.5) はどんな整数 x をとっても真であるから、いま x に4を代入してみる。

(10) すると4が6で割り切れるならば、4は2で割り切れるとなり、これを真と考えるのが妥当である。

(11) つまり p が偽で、q が真のとき、p → q という新しい命題を真とする方が(3.5)の表す意味によく合致する。

(12) おなじようにして、x に7を代入してみる。

(13) このとき p、q がともに偽であるが、 p → q は真となる。
以下省略。

(01) ~(05)までは理解できます。(06)~(13) のように数学を例に出すとわからなくなってしまいます。いったい、
「4が6で割り切れるならば、4は2で割り切れる」の前半は意味があるのでしょうか?4が6で割り切れるなんて間違いに決まっています。同様に、x に7を代入して、7が6で割り切れるならば7は2で割り切れる、がどうして妥当なのかよく分かりません。

特に(06)はなぜなのでしょうか?「p が偽のときを暗黙のうちにあつかっている」という場合は(私の経験では)ありません。

数学の「ならば」と論理学の「ならば」とは水と油のように切り離していくべきものなのでしょうか?あるいは、数学の「ならば」は論理学の「ならば」のどの辺に位置づけられるものになるのでしょうか?

どうも頭の整理整頓ができなくて困っています。

よろしくお願いいたします。

論理学の入門書を読んでいて、「ならば」の説明の部分で困っています。

読んでいる書物の原文を一文ずつ書き抜き、かつ左に各文番号を付けておきます。

↓からです。ちょっと引用が長くてすみません。
(01) 最後に p → q の真理値の問題にうつる。

(02) まず p、q を与えたとき、p → q を p から q が導かれるという意味ではなく、p と q から新しい命題 p → q を作るという意味に解釈する。

(03) p と q が真のとき、p → q という新しい命題を真とすることに異存はあるまい。

(04) のこりの場合に...続きを読む

Aベストアンサー

『(09)で著者は、(3.5) はどんな整数 x をとっても真であるから
と、はじめから「真」と述べているその根拠といいますか、土台はどこにあるのでしょうか?』
への回答です。

『∀x ∈Z (x が6で割り切れる → x は2で割り切れる)(Zは整数の集合)(3.5)』
この表現は、任意の(勝手に選んだ)整数 x について、 (もしも)x が6で割り切れるのであれば
この x は2でも割り切れる、と主張するものです。(テキストの(07)、(08))
 x が若し6で割り切れないならば、命題(3.5)は(無意味ですが)やはり正しい主張、すなわち真です。
よって、命題(3.5)は、x がどんな整数であったとしても真である(テキストの(09)の前半)、と言えます。

以上のことを、論理学の立場から考えると、以下のようになります。

 ある整数 x について、命題pを『x が6で割り切れる』
          命題qを『x が2で割り切れる』と決め、また

 ある整数 x について、命題A を「pならばq」とします。

 すると、(算数の知識から)、『pが真』で『qが真』のとき、命題A は正しい命題となるのですが、
同時に、(論理学の立場から)、『pが偽』のときには、『qが真』であろうと、
『qが偽』であろうと、やはり命題A は正しい命題です。

 つまりp が真であれ偽であれ命題A は正しいのですから、命題A は、すべての整数について(具体的には、x が6で割り切れる整数であれ、割り切れない整数であれとも)正しい。
これがテキストの(09)の前半部分です。

以上が、ご質問への回答です。

 尚、勉強なさっている教科書では、一般的な『pならばq』の定義を離れて
別の見地から『pならばq』(命題Bとする)と言う関係を定義しようとするとき、
一般的な『pならばq』のときと同じように pが偽、qが真のとき(テキストの(11))、
pが偽でqも偽のとき(テキストの(13))のときにも、やはり命題Bが正しい決めるようにこの新たな関係を定義するのが理にかなっている、と話を進めようとしているようです。
 以上、ご参考までに。

『(09)で著者は、(3.5) はどんな整数 x をとっても真であるから
と、はじめから「真」と述べているその根拠といいますか、土台はどこにあるのでしょうか?』
への回答です。

『∀x ∈Z (x が6で割り切れる → x は2で割り切れる)(Zは整数の集合)(3.5)』
この表現は、任意の(勝手に選んだ)整数 x について、 (もしも)x が6で割り切れるのであれば
この x は2でも割り切れる、と主張するものです。(テキストの(07)、(08))
 x が若し6で割り切れないならば、命題(3.5)は(無意味ですが)やはり正しい主...続きを読む

Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
...続きを読む

Q論理学と数学の関係を教えてください。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

広義の論理学では、数学はその一部になるはずだったのが、ゲーデルによって覆されてしまったため、部分的に重なり合っているといった状態でしょうか?

論理学(wikipedia)
>>> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6
論理を研究する論理学は、昔は哲学の一分野であった。現在では数学的性格がより強い論理学(記号論理学、または数理論理学)と、記号論理学でない論理学とに分化している、と言える。

記号論理学に属する論理として例えば命題論理、述語論理、様相論理、直観主義論理、量子論理がある。 記号論理学は論理を単なる記号操作として扱う事に特徴があり、記号操作で表せないものは記号論理学では決して扱うことができない。 たとえば、帰納法を記号論理学は定式化できない。
(中略)
不完全性定理 [編集]
アリストテレスの論理学以来はじめて、論理学の世界に革命を起こしたのは20世紀初頭のバートランド・ラッセルである。彼は数学は論理学の一分科に過ぎないとする論理主義を提唱し、その著書『数学原理』 (Principia Mathematica)(アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドと共著)において、述語論理の基礎法則を用いて、無から数学の全体系を再構築しようと試みた。
(中略)
ヒルベルトは完全性と無矛盾性を併せもつような数学全体を導くためには、適切な公理系を見出すことが重要であることを明らかにし、それを見出そうと試みたが(ヒルベルト・プログラム)、実現することはできなかった。
1930年、クルト・ゲーデルによって不完全性定理が発見された。 これは「自然数論を含みかつ無矛盾である計算可能な公理系には、内容的には真であるが、証明できない命題が存在する」というものである(ゲーデル自身は弱い形で示したが一般化された)。 すなわち、二階述語論理より強い表現力をもつ公理系(これには算術体系が含まれる)においては、立証も反証もできない灰色の領域が必ず存在することが示されたのである。これによって、論理によって万物を解き明かそうという、ラッセルやヒルベルトの野望は完全に潰えた。
<<<

広義の論理学では、数学はその一部になるはずだったのが、ゲーデルによって覆されてしまったため、部分的に重なり合っているといった状態でしょうか?

論理学(wikipedia)
>>> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6
論理を研究する論理学は、昔は哲学の一分野であった。現在では数学的性格がより強い論理学(記号論理学、または数理論理学)と、記号論理学でない論理学とに分化している、と言える。

記号論理学に属する論理として例えば命題論理、述語論理、様相論理、直観主義論理...続きを読む

Q1000本のワインがあって、1つは毒入りです。

1000本のワインがあって、1つは毒入りです。
1滴でも飲むと、10h~20hで死にます。
今から24h以内に、毒ワインを自分のドレイに飲ませることで、判別したい。
これには最低何人のドレイを要するか?




以下がこれに対する僕の回答です。




結論から言うと1000人必要です。


まず0時から検査を開始します。

24時までに終わらせなければなりません。




まず0時にx人がそれぞれで一本検査します。

死ぬのは10~20時ですね
二本目を検査するためには
10時より後に飲まなければなりません(理由はAに書きます)
しかし4時より後に飲んだ場合は24時より後に死ぬ可能性があるため、毒を見逃す可能性があります。

ゆえに10時より後には飲めません。


A、もし10時以内に飲んだ場合
死んだとしても最初に飲んだワインによるものなのか後に飲んだワインによるものかわからないからです。
一本目の死ぬ可能性のある時間帯は10~20時
二本目を例えば9時に飲んだとしたら死ぬ時間帯は19~29時になります。
つまり19~20時に死んだ場合、その死が一本目によるものなのか二本目によるものなのかわからないからです。


ゆえに1人1本しか検査できません。

従って1000本には1000人必要です。





こういう答えがでたんですが、答えは10人なんだそうです…

先生にだされた問題だとか。


どうして10本になるのでしょうか?


困ってます。

1000本のワインがあって、1つは毒入りです。
1滴でも飲むと、10h~20hで死にます。
今から24h以内に、毒ワインを自分のドレイに飲ませることで、判別したい。
これには最低何人のドレイを要するか?




以下がこれに対する僕の回答です。




結論から言うと1000人必要です。


まず0時から検査を開始します。

24時までに終わらせなければなりません。




まず0時にx人がそれぞれで一本検査します。

死ぬのは10~20時ですね
二本目を検査するためには
10時より後に飲まなければ...続きを読む

Aベストアンサー

ついでに書いておこうかな(^^)
2進数                 10進数
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1   1番目のワイン
 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0   2番目のワイン
 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1   3番目のワイン
 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0   4番目のワイン
 ・・・【中略】・・・
 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1  999番目のワイン
 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1,000番目のワイン
奴隷は上に1があればそれを飲む
 A B C D E F G H I J  10人

Q空集合について〇か×か返答をお願いします。次の集合の部分集合を全てあげ

空集合について〇か×か返答をお願いします。次の集合の部分集合を全てあげよ。で、問題が(1){3,4}=Ф,{3},{4},{3,4}であってますか。 ついでにもう一問お願いします。↑と同じ問題で(2){5,6,7}=Ф,{5},{6},{7},{5,6,7}であってますか。2つとも返答お願いします。間違っていれば教えてください。

Aベストアンサー

質問者の方が,誤解しないように,書いておきます.

#3さんは,空集合を,{Φ} と書いておられますが,
空集合は,カッコをつけず,単に,Φ と書くことになっています.
空集合は,Φ だけで集合を意味しますから,普通,{Φ} とは書きません.

また,余談になりますが,空集合 Φ の文字は,
ギリシヤ文字の Φ(ファイ,phi)ではなく,
空集合を表す記号が特別に存在します. Φ に似ており,
0(ゼロ)に斜めの棒 / を重ね合わせたような記号です.
TeX などでは,はっきりと区別されて用います.

念のため,いちど,お調べになってみて下さい.


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