
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
質問サイトの回答者にやらせようとか、
数式処理ソフトにやらせようとか考えていると、
自分でできるようにはなりませんよ。
ここでは、計算手順の概略だけ。
cos の倍角公式より、cosθ = (1-tの2乗)/(1+tの2乗)。
t の定義式を微分して、dt/dθ = (1+tの2乗)/2。
これらを代入すると、
与式 = ∫{ A(B+tの2乗)/((C+tの2乗)(1+tの2乗)) }dt
と表せる。A,B,C は、r,R から計算できる定数。
この被積分関数を (tの2乗) の分数式と見て、
部分分数分解すれば、
与式 = ∫{ D/(1+tの2乗) + E/(C+tの2乗) }dt
と変形できる。D,E も定数である。
第一項は、dt/dθ を思い出せば直ぐ積分できる。
第二項の計算は、C の符号に依る。
C > 0 であれば、t = u√C で置換して
後は第一項と同様。
C < 0 であれば、更に部分分数分解して
積分すると log が現れる。
No.2
- 回答日時:
数式処理ソフト(MapleV)を使うと添付図のように解析的に表せます。
R > r なら添付図末尾の式になります。tan(x) = (R+r)/(R-r)*tan(θ/2) と置換すれば筆算でも計算できるかもしれません。
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