No.1ベストアンサー
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立体図形は断面で考えるのが一番ですね。
正四面体A-BCDを考えます。Aが頂点でBCDを底面としましょう。
CDの中点をEとします。
頂点A, B, C, Dを中心としてアニオンが配置されているとします。
面ABEで、イオンごと切断した面を考えましょう。
この面(AE=BEの2等辺三角形)内にはまず、
点Aを中心とする半径1のアニオンの断面・・・切断面では円になりますが・・・があります。
同じく点Bを中心として、半径1のアニオンがあります。
題意のカチオンの中心Oは面ABE内に位置するはずですが、
(1)カチオンを表す円は上記の二つの円と接している
(2)頂点Aから辺BEにおろした垂線を考えると、Oはその線上にある(対称性から)
の2つでカチオン(の断面)を表す円は一意に決まります。
以下はOを定めるための数学テクニック上のお話です。
(2)の垂線の足をHとすると、Hは底面BCDの重心になります。
また頂点Bから面ACDにおろした垂線の足をH'とすると、同様にH'は△ACDの重心で、
かつOは線分BH'上に存在します。
この先は力づくでもなんでも解けるのですが、中学校の数学まででやるとすると、
(1)面ABE内で、Hを通りBH'に平行な補助線を引く。この補助線がAEと交わる点をFとおく。
(2)三角形BH'Eと三角形HFEの相似を考え、H'F:FE =2:1と求められる。
(3)これより、AO:OH=3:1と求まる。
AHの長さですが、正四面体の一辺の長さを2とするならピタゴラスの定理より2√6/3と求められます。
AOの長さはその3/4ですから √6/2 です。
これから、Aを中心とするアニオンの半径1を引き算すればよいので
(2.44949..../2)-1=0.22474...
と求まります。
これでいかがでしょう?
素早い返答ありがとうございました 大変よく分かりました こんな問題で何時間も苦労したのが嘘みたいです これからも何かあれば宜しくお願いします
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