y  =a0
+ a11*x1 + a12*x1^2 + a13*x1^3 + ・・・
+ a21*x2 + a22*x2^2 + a23*x2^3 + ・・・
     ・
     ・


上記のような多変数多項式の各係数をエクセル2007で求めようとしているのですが、
やり方がわかりません。

単変数や1次の多変数の係数は、LINEST関数や回帰解析ツールを使えば、
求められることが分かったのですが、多変数多項式の各係数はどのようにして求めるのでしょうか。

どなたかご教授いただけると助かります。

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A 回答 (5件)

>被説明変数に影響がなさそうな説明変数ほど係数の絶対値が大きく、



必ずしもそうとは言えません。

xの係数(偏回帰係数という)の大きさや符号を考える上で,注意点が大きく分けて二つあります。

(1)
まず,単位の問題です。
これは回答者No3さんも指摘したとおりです。

例えば,
身長が1cm伸びたら体重が1kg増えた
というのと
身長が1cm伸びたら体重が1000g増えた
は,全く同じ現象です。

しかし,数学的には(数式上は),後者の増加率は前者の1000倍にもなります。

多変量解析では様々な単位の測定値を使うので,この点の注意が必要です。

(2)
次に,x(説明変数とか独立変数と呼ぶ)相互間の相関です。

これは分析に慣れた研究者でも忘れやすい点です。

回答者No3さんは
>(係数が)絶対値が大きいほど、yの値に影響
と述べましたが,この説明は誤解を与えます。

xを説明変数と述べましたが,これは,
yをどれだけ説明できるか,あるいは,どれだけ密接に結びついてるか
を調べるために計算された式だから,そう呼ぶのです。

それを検討するとき,
係数の絶対値が大きければ,より一層yと結びついてる
とは必ずしも言えません。

例えば,簡単のため2変数モデル(重回帰式)を考えます。
y=a*x1+b*x2

(a)
まず,次のような架空のデータを考えます。

yx1x2
115
328
534
746
1057

計算すると,
  y = 2.19* x1 + 0.063* x2 -1.74

となります。

x1の係数が,ずっと大きいですね。

そこで,各xとyとの相関を計算すると,

x1とy,r = 0.996
x2とy,r = 0.226

であり,見事にx1の影響が大きいことが示されているようです(実際には,後述の分析が必要)。

(b)
次に,別のデータを考えます。

yx1x2
31.96
54.112
42.99
76.118
96.921

同様に計算すると,
   y = -2.6* x1 + 1.3* x2 +0.32

となります。

ここでは,x1の係数の絶対値は,x2のそれの2倍あります。
では,x1 のほうがyを良く説明してるのでしょうか?

yとの相関を計算すると,

x1とy,r = 0.98
x2とy,r = 0.99

両方ともほとんど違わず,むしろx2のほうが,やや大きくなっています。

では,上の二つのデータ(a)と(b)のどこが違うのでしょうか?

説明変数相互間の相関を計算します。

(a) x1とx2,r = 0.2
(b) x1とx2,r = 0.998

実は,(b)は,x1とx2が相互に関連し合ってyに影響を与えていたのです。
だから,偏回帰係数の違いや大きさは,yに与える影響だけでなく,x相互間の影響も含んだものとなっているのです。

一方,(a)は,x1とx2の相互の影響が小さく,重回帰式がそのまま,各xがyに与える影響を反映しているのです。

前回指摘した問題点がここでも出てきました。

つまり,説明変数を多くすれば,それだけ,その相互間の影響も増えてくるのです。
x1, x2, x3
ならば,

x1 と x3
x2 と x3
x1 と x3

の相互間の影響を分析しなければなりません。
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この回答へのお礼

再度ご回答ありがとうございます。

(1)に関して、今扱っているデータは同じ単位なので問題ないですが、気をつけていないと忘れてしまいそうなのでこれも注意が必要ですね。

(2)-(b)は多重共線性が発生している状態ですよね。入力データに多少の変動を与えた場合に、係数ががんがん変わっていたのが、今思うとこれにあたるようですね。

多重共線性について勉強してみたのですが、とりあえず、多重共線性が発生している状態では回帰による結果が得られない、あるいは得られたとしても信頼性がなく、回帰に使うべきではないと言うことは分かりました。が、結局どんな現象が起きていて、何でだめなのかは分からず終いでした。

いろいろ教えていただいて、多変量解析は内容を知らないままソフトに任せていては危険だと言うことが今回よく分かりました。これから、勉強していこうと思います。

ご丁寧にどうもありがとうございました。

お礼日時:2011/04/21 00:25

No3のデータが読みにくくなってしまいました。



(a)
y,x1,x2
1,1,5
3,2,8
5,3,4
7,4,6
10,5,7

(b)
y,x1,x2
3,1.9,6
5,4.1,12
4,2.9,9
7,6.1,18
9,6.9,21
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>y  =a0+ a11*x1 + a12*x1^2 + a13*x1^3 + ・・・


これなら、説明変数は、x1だけでなので、単回帰分析。エクセルで、多次式を選択できます。
x2が入ると、重回帰分析になりますが、多変数、しかも多次式のものは、今まで目にしたことはありません。式の説明・解釈が困難だと想います。重回帰分析は、多重共線性という私には理解不能の部分をクリアしないと、実際には間違った重回帰式になりますので、式を説明できないと、苦しいのでは。

 重回帰式の係数については、絶対値が大きいほど、yの値に影響します。ただ、実際のデータの単位が、kgとgでこの係数が1000倍違ってきますので、それほど意味はないと判断しています。

 変数の数を増やし、次数を増やすほど、決定係数は1に近づき、信頼性は増します。が、説明は難しい=理解できないのでは。例えば、y=a+bx+cx^2の式でさえ、cx^2なんぞは説明が出来ないので、やらないことにしています。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>式の説明・解釈が困難だと想います。
確かに多重共線性もそうですが、ちゃんと現象を理解できないまま回帰を使うのは危険ですね・・・

お礼日時:2011/04/20 23:32

単回帰でも、重回帰でも、同じツールで設定するようですが… ↓


http://www.ipc.shimane-u.ac.jp/food/kobayasi/mul …
エクセルでのやり方を数学カテゴリーで聞くのは、カテ違いですよ。
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この回答へのお礼

失礼しました。

お礼日時:2011/04/15 00:43

エクセルでは通常求まりません。



多変数多項式は,多変量解析となります。

ただし,3次以上にもなる多変数多項式は,実用的に意味があると思えないのですが・・

通常は,1次か,せいぜい2次です。

次数を増やせば増やすほど,変数を増やせば増やすほど,背後の現象と無関係になんでも説明できてしまうからです。

この場合,AIC(Akaike's Information Criteria,赤池の情報量基準)
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/Yogoshu/1.html
などが,数式評価に用いられます。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

リンク先とても参考になりました。
つまり次数を増やしてしまうと、オーバーフィッティングになってしまって、モデル式がロバストではなくなってしまうと言うことですね。

統計に関して初心者なので、もう一点お聞きしたいのですが、例えば、

y = a0 + a1*x1 + a2*x2 + a3*x3

のような場合、回帰分析で求められる係数の大きさにはどのような意味があるのでしょうか。

説明変数(x1,x2,x3)と被説明変数(y)のそれぞれのデータの関係を見ると、
被説明変数に影響がなさそうな説明変数ほど係数の絶対値が大きく、
逆に影響が大きそうな説明変数ほど係数の絶対値が小さくなっているように感じます。

それぞれの項の影響度を同じにするように係数は決定されている、というようなイメージでいいのでしょうか。

お礼日時:2011/04/15 00:42

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QM系列の生成多項式と原始多項式について

生成多項式や原始多項式に関する様々な投稿を見ましたが、
いまいち知りたいことがわからなかったので質問いたします。

周期 2^n - 1 のM系列を生成するには、{0,1}を体とする
n次の原始多項式を生成多項式として用いるということまでは
わかったのですが、このn次の原始多項式の求め方について、
いまいち理解できません。

例えば、周期 2^4 - 1 = 15のM系列を生成するには原始多項式

          x^4 + x^1 + 1 ー (1)

を用いるということですが、

            x^4 + x^2 + 1 ー (2)

ではM系列を生成できませんでした。
この2式の違いを理解していないことが原始多項式の求め方を
理解できない原因だと思うのですが、どなたかお詳しい方がいましたら、
ご教授お願いいたします。

Aベストアンサー

#1さんミスしてますので修正を。

x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)
ですね。
念のため式変形を書くと、
x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = {(x^2 + 1) + x}{(x^2 + 1) - x}

だから、そもそも既約でないので、原始多項式にはなりません。
(原始多項式ならば、既約。逆は言えませんが)

しかし、単純に、原始多項式かどうかのチェックをしても、分かりますよね。

いま、数・係数としては、2で割った余りの世界(0と1からなる四則の出来る世界。色んな呼び名があるが、ここではF2と呼びます)を考えていますよね。

x^4 + x^2 + 1 でF2上の(つまり、係数が0と1からなる)多項式を割った「余り」を考えるとき、全ての多項式は、余りは3次以下の(係数が0と1からなる)式になりますよね。

係数が0と1であることから、ax^3 + bx^2 + cx + d たちは、全部で 2^4 = 16 個あるわけです。

いま、4次の原始多項式とは、xが、0を除く15個の余りを全て生成するような多項式を言います。

具体的に言うと、x , x^2 , x^3 , ・・ , x^15 を夫々割った余りがすべて異なり、0以外の全ての3次式が出てくるとき、原始多項式と言います。

ということは、もし途中で(余りとして)1がでたら、次から x , x^2 ・・と最初からの繰り返しになるので、駄目です。
よって x^15 の余りが1であり、それ以前に余り1が出てはいけません。

実は、この逆が言えて、
x , x^2 , x^3 , ・・ , x^14 の余りがすべて1でないとき(つまり x^15 ではじめて1になるとき)、(4次の)原始多項式である ・・・★

ことが言えます。

なので、(もっと良いテクニックは色々あるでしょうが)、★を満たすかどうかを、まじめに計算すれば分かります。

いま x^4 + x^2 + 1 についてやってみると、
x^4 + x^2 + 1 で割った余りは、x^4 + x^2 + 1 = 0 として、x^4 = x^2 + 1 (注:いまF2(2で割った余りの世界)上で考えているから、-1=1) を代入して次数を下げてゆけば求まりますよね。

すると、
x
x^2
x^3
x^4 = x^2 + 1
x^5 = x(x^2 + 1) = x^3 + x
x^6 = x(x^3 + x) = x^4 + x^2 = x^2 + 1 + x^2 = 1
( 2 = 0 より、2x^2 = 0 )
となり、6乗で1になってしまうので、 x^4 + x^2 + 1 は原始多項式でないと分かりますネ。

#1さんミスしてますので修正を。

x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)
ですね。
念のため式変形を書くと、
x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = {(x^2 + 1) + x}{(x^2 + 1) - x}

だから、そもそも既約でないので、原始多項式にはなりません。
(原始多項式ならば、既約。逆は言えませんが)

しかし、単純に、原始多項式かどうかのチェックをしても、分かりますよね。

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Q「(5x+3)^10でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値」と「x+y=1を満たす全x,yに対してax^2+2bxy+by^2

こんにちは。識者の皆様、宜しくお願い致します。

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 (1)Cをばらして比を簡略化するところで計算間違いがありそうな気がします。その経過をもう少し詳しく書いてもらえませんか?
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Q多項式を誤解している?

多項式f(x)を求める問題で

条件の一つに

x^4f(1/x)=f(x)

をf(x)は満たすという条件がありました


n>4の範囲では右辺が多項式であるのに、左辺は多項式とならないから、矛盾する

よってf(x)の次数は4以下となる(背理法による証明)


…と模範回答にあるのですが


多項式って

例えば

f(x)=ax^4+b^3+c^2+dx+e

みたいなやつですよね?

f(x)=a/x+b+cx+dx^2+ex^3

みたいな分数型が入った式は多項式じゃないんですか?


多項式って中学生で習うのに、全然理解できてない自分にショックを受けてます。

Aベストアンサー

>f(x)=a/x+b+cx+dx^2+ex^3

みたいな分数型が入った式は多項式じゃないんですか?

そうです.多項式ではありません.
多項式はあくまでxの累乗の指数が非負整数である場合のみ指します.

ですからn>4では累乗の指数が負の整数となってしまうので多項式とは言えなくなるのでn≦4にしかなりえないということです.

Qx*y=log(e^x+e^y)と定義すると、(x*y)+z=(x+z)*(y+z)

x、y∈Rに対して
x*y=log(e^x+e^y)
と定義すると、
(x*y)+z=(x+z)*(y+z)
が成り立ちます。
分配法則の*と+を逆にしたような感じですが、この*から何かしらの代数的な事実が従うのでしょうか?
この*の意味は何なのでしょうか?

x*x=aのとき、x=√aと定めと、
√(a*b)≧(a+b)/2
といった相加相乗平均の関係の類似は成り立つようですが。

Aベストアンサー

e^x=X, e^y=Y, e^z=Z と置いて考えましょう。
e^(x*y)=e^x+e^y → Z=X+Y
e^(x+y)=e^x*e^y → Z=X*Y
つまり、正の数の加算と乗算になります。

>分配法則の*と+を逆にしたような感じですが

まさにその通りです。入れ替えて見てください。

>√(a*b)≧(a+b)/2

通常の相加相乗平均とは逆ですね。

Qべき乗表現と多項式表現

すいません。
べき乗表現と多項式表現の関係がわかりません。
例えば
0000 -> 0(べき乗) -> 0(多項式),
0001 -> 1(べき乗) -> 1(多項式),
0010 -> α(べき乗) -> α(多項式),
0011 -> α~2(べき乗) -> α~2(多項式),
0100 -> α^3(べき乗) -> α~3(多項式),
0101 -> α~4(べき乗) -> α~3+1(多項式),

ここでなぜ、0101がα~3+1になるのでしょう?
であれば、0011はα+1ではないのでしょうか?
また、さらに0110がα~5(べき乗)の時、
なぜ、α~3+α+1になるのでしょう?

理屈を教えてください。

Aベストアンサー

有限体の拡大理論の話です。情報理論系の本を参照されるのが一番とは思いますが。

まずすべて3次以下の多項式表現を考えていること、4桁の2進数を考えていることは
次の方程式:x^4+x+1=0をZ/2Z={0,1}上で考えていることから来ています。
つまりZ/2Z上の多項式環を既約多項式x^4+x+1で割った4次の拡大体を考えるのです。

演算は普通にZ/2Z上の多項式環の演算ですが、x^4+x+1=0という約束がありますから、
かならず3次以下の多項式に変形することができます。
もう少し詳しく言うと、Z/2Zの4次拡大体をGF(2^4)と書くとき、
GF(2^4)の元は3次以下の多項式16個、
0,1,α,α+1,α^2,α^2+1,α^2+α,α^2+α+1,
α^3,α^3+1,α^3+α,,α^3+α+1,α^3+α^2,α^3+α^2+1,α^3+α^2+α,α^3+α^2+α+1
からなる体のことです。

さてべき乗表現と多項式表現の対応を見るには、x^4+x+1=0に気をつけるだけです。
3次以下の多項式はそのままですから放置して、
0101 -> α^4=-α-1=α+1
となります。Z/2Zなので-1=1に注意してください。同様に、
0110 -> α^5=-α^2-α=α^2+α
0111 -> α^6=-α^3-α^2=α^3+α^2
1000 -> α^7=-α^4-α^3=α^4+α^3=(α+1)+α^3=α^3+α+1
などとなります。α^15まで計算すると上の3次以下の多項式がすべて
出てくることに確認してみてください。

なお大事な注意ですが、多項式表現は別の既約多項式を用いて
表すと異なる表示になりうることです。
大抵x^n+x+1のタイプの多項式は既約になるのでこれを用いる
ことが多いのではないかと思われます。
詳しいことは僕は知らないので調べてください。

それから二進表記のまま通常の演算を考えると頭が混乱するので
避けてください。
あくまでべき乗表現、あるいは多項式表現で演算を考えるべきです。
べき乗表現は積の計算に大変便利な表記で、たとえば
α^4×α^3=α^7
などとなります。多項式表現のまま積の計算も出来ますが、
多項式表現はどちらかというと和の計算に便利です。
Z/2Z上で考えているので、2=0に注意して、たとえば
(α^3+α+1)+(α^3+α^2+1)=α^2+α
といった感じです。

検索では下記ページぐらいしか見つけられませんでしたが、
参考にはなるかと思います。

参考URL:http://www.ccad.sccs.chukyo-u.ac.jp/~mito/syllabi/daisu/fext/index.htm

有限体の拡大理論の話です。情報理論系の本を参照されるのが一番とは思いますが。

まずすべて3次以下の多項式表現を考えていること、4桁の2進数を考えていることは
次の方程式:x^4+x+1=0をZ/2Z={0,1}上で考えていることから来ています。
つまりZ/2Z上の多項式環を既約多項式x^4+x+1で割った4次の拡大体を考えるのです。

演算は普通にZ/2Z上の多項式環の演算ですが、x^4+x+1=0という約束がありますから、
かならず3次以下の多項式に変形することができます。
もう少し詳しく言うと、Z/2Zの4次拡大体をGF...続きを読む

Q多項式P(x)=an・x^n+an-1・x^n-1+…+a1・x+a0

基本情報処理の過去問題
平成7年度 春期 第二種 午後 問2がわかりません


P(x)=an・x^n+an-1・x^n-1+…+a1・x+a0


anとxをつなぐ「・」が何を意味するものなのかもわかりません
解説を下さる方お願いします




http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/infoserv/j-siken/H7a2/g01.html

Aベストアンサー

こんにちは。

いわゆる「課題の丸投げ」は禁止事項ですので、解き方は回答できません。

「anとxをつなぐ「・」が何を意味するものか」
についてだけお答えします。

・は、掛け算の記号です。
たとえば、
an-2x^n-2
と書くと、
an-2 かける x^n-2
なのか
an - 2x^n-2
なのか、見た目にわかりにくいです。

ですから、
an-2・x^n-2
と書けば、
an-2 かける x^n-2
であることが、読み手にとってはっきりします。

Q同次多項式について

同次多項式における定理、
  同次多項式f(x,y,z)の因子は、また同次多項式である
の証明をわかりやすくおしえてもらいたいのですが・・・
  よろしくお願いします。

Aベストアンサー

定理かどうかは知りませんが、簡単に証明できますよ。
一般的に次のように言い換えて証明します。

「体K上の同次多項式 f(x_1,・・・,x_n) の因子は、
また体K上の同次多項式である」

質問については n=3で係数が整数(有理数)の場合であるため
上記証明に包含されます。
とりあえず、環、整域、体とか言う言葉を知っていますよね?
知らない場合はわかりやすくないので(^^A
イメージだけつかんでください。

(proof)
背理法による:

f(x_1,・・・,x_n) が K上既約多項式ならば、
因子は定数か自身の定数倍であるため明らか。
したがってK上可約としてよい。

このときfの同次でない因子をgの存在を仮定する。
fは可約より
f(x_1,・・・,x_n) = g(x_1,・・・,x_n)q(x_1,・・・,x_n)
とあらわせる。(剰余定理)
ここで
gの最大項の次数をK,最小項の次数をk
qの最大項の次数をL,最小項の次数をl
とすると、右辺の次数は最大L+K,最小l+kであるが
gは同次でないのでL+K != l+k
これはfが同次であることに反する。

※同次多項式とは、各項の次数がすべて等しい多項式である。
例 f(x,y) = x^2 + 7xy + y^2(2次で同次)
f(x,y,z) = x^3 + 3xyz + y^3 + x^2y (3次で同次)
f(x,y) = x^2 + y+ 3 (同次でない)

※因子とは、整数でいう約数。体(整域)上で定義される。
※既約多項式とは、整数でいう素数。体(整域)上で定義される。

定理かどうかは知りませんが、簡単に証明できますよ。
一般的に次のように言い換えて証明します。

「体K上の同次多項式 f(x_1,・・・,x_n) の因子は、
また体K上の同次多項式である」

質問については n=3で係数が整数(有理数)の場合であるため
上記証明に包含されます。
とりあえず、環、整域、体とか言う言葉を知っていますよね?
知らない場合はわかりやすくないので(^^A
イメージだけつかんでください。

(proof)
背理法による:

f(x_1,・・・,x_n) が K上既約多項式...続きを読む

Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)

Q多項式の定義について

「X~2+2√x+1、は多項式ではない」と参考書に載っていたのですが、なぜ多項式ではないのでしょうか。項が複数あるので多項式だと思うのですが。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

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正確に言うと、「単項式」が複数ある(加算、減算されている)場合に多項式と呼びます。

変数xの単項式は、
ax^n (a: 定数, n: 0以上の整数)
で表されます。

質問で挙げられた式は、2√xが 2√x = 2x^1/2 ですので単項式ではなく、そのため式全体は多項式ではないと言えます。

Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
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外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
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