数学の解説でわからないところがあります

Question

ｎ次の整式ｆ（ｘ）が次の等式を満たしているとき、
ｆ"（ｘ）－2ｘｆ'（ｘ）+6ｆ（ｘ）=0，ｆ（1）=－1・・・(1)
ｎの値を求めよ

何ですが解答はｆ（ｘ）のｎ次の項をax^n(a≠0)とすると

（ax^n）'=nax^(n-1)  ,（ax^n）"=n(n-1)ax^(n-2)より(1)に代入し整理すると
（6－2ｎ）a=0
よってｎ＝3でした

私はｎ次の項ｆだけで考えているのかがわかりません

ｆ（ｘ）の（n-1）や(n-2)次の項数はなぜかんがなくてよいのでしょうか？

Tofu-Yo · Accepted Answer

わかったかもしれません。質問者さんのわからない部分が・・・。

ｆ"（ｘ）－2ｘｆ'（ｘ）+6ｆ（ｘ）=0

を恒等式と捉えていないのではないでしょうか？ｆ（x）がこれを満たすということは、ｘにかかわらず、この等式が成り立つという意味です。あるｘでのみ満たすということではないのです。したがって、上記の式は恒等式であり、恒等式ということは、各次数の項の係数がすべて0ということです。

つまり、たとえば３次式なら、

「ax^3+bx^2+cx+d=0が恒等式⇔a=0かつb=0かつc=0かつd=0」

ということです。

各次数の係数が0なのですから、最高次の項の係数ももちろん0なのです。そこで、上記の式にf(x)=ax^n+g(x)を代入したときのn次の項の係数=0から、nを導いているわけです。

万一恒等式がわからない場合はテキストを読み直してみてください。そんなに難しい概念ではないと思いますから、テキストで十分理解できると思いますよ。もうちょっとです。がんばって！

178-tall · Answer

ANo.9 のリピート。

>>n=3 がわかれば、「原方程式」左辺の係数表は、
>f(x) = ax^3+bx^2+cx+dとすると

x^3　　　　x^2　　　　　x^1　　　　　x^0
　　6f 　|　 6a　　　　6b　　　　　6c　　　　　6d
　-2xf'　|　-6a　　　　-4b　　　　-2c
　　f"　 |　　0　　　　　0　　　　　 6a　　　　　2b

と書けます。

x^k (k=3, 2, 1, 0) の各係数和が零として、　2*b=0, 6a+4c=0, 6d+2b=0

結局、残るのは、
　6a+4c=0
　a+c=-1　← f(1) = -1
じゃないかな？

alice_44 · Answer

← A No.8 補足
回答を読まずに反論するのは、感心しません。
f(x) = a xのn乗 を代入するのではなく、
f(x) = Σ[k=0～n] a[k] xのk乗 を代入するのだ
と回答したことへの返信なのでしょう？
なぜ、その切り返しになるんですかね。
やってて、自分で、不自然だと思いませんか？

f(x) = Σ[k=0～n] a[k] xのk乗 を代入した式の
各項の係数が 0 になるように、
まず、n 次項の係数を 0 にすると、
そのことから n = 3 が判る…
それが、貴方の躓いた解答例の意味だ
と言っているのです。

Tofu-Yo · Answer

とりあえずf(x)=ax^n+…のaをa=0と言ってるのではありません。あくまで与えられた式にfを代入し、降べきの順等にに整理して同じ次数の項をくくってまとめたときに、各項の係数が0ということです。でもそこまで計算ができればもう少しで理解できますよ。きっと…

できればf(x)の最高次の項だけ代入する、というのは忘れて欲しいんですが敢えてそれも考えてみましょうか。

まず、f(x)=ax^3+…+dを代入した方ですが、代入時点で大体合っていますが+・-が一部逆です。そしてそこで止めずに、降べきの順に整理してください。ちゃんとx^3の係数は一つにまとめます。0になりますよね？n=3だからこうなるんです。こうなるnを求めた結果がn=3なのです。
この際他の次数も一つにまとめましょう。このときに、各項の係数が0なのです。

同じことをf(x)=ax^3でもやってみてください。

そしたらどちらもx^3の係数は同じ(0)ですよね？

f(x)=ax^n+g(x)の最高次の項だけ代入するというのは結果的にあたかもそのようにしたかのように見えているだけで、本来はg(x)を含めて全部代入して考えて、n次の項だけ取り出して考える、と捉えてください。

あと恒等式の性質を復習してみてください。のちのちのためにも…

178-tall · Answer

ひとまず、ゴール候補まで。

n=3 がわかれば、「原方程式」左辺の係数表は、

x^3　　　　x^2　　　　　x^1　　　　　x^0
　　　　　 -----　　　-----　　　　-----　　　　----
　　6f 　|　6a3　　　　6a2　　　　　6a1　　　　　6a0
　-2xf'　|　-6a3　　　-4a2　　　　-2a1
　　f"　 |　　0　　　　　0　　　　　 6a3　　　　　2a2

と書けます。

x^k (k=3, 2, 1, 0) の各係数和が零として、
　2*a2=0, 6a3+4a1=0, 6a0+2a2=0

結局、残るのは、
　6a3+4a1=0
　a3+a1=-1　← f(1) = -1
じゃないかな？

alice_44 · Answer

実際に、Σ でやってみましょうか。

f(x) = Σ[k=0～n] a[k] x^k を f”(x) - 2x f’(x) + 6 f(x) = 0 へ代入すると、
(2a[2] + 6a[0]) + Σ[k=1～n-2] { (k+2)(k+1)a[k+2] + (6-2k)a[k] } x^k + (8-2n)a[n-1] x^(n-1) + (6-2n)a[n] x^n = 0.
この式が x について恒等式になるのだから、各項の係数が 0 にならねばならないが、
とりあえず、n 次項の係数が 0 になるように、(6-2n)a[n] = 0.　　←(＊)
f が n 次式だということは、a[n] ≠ 0 なので、6-2n = 0 すなわち n = 3.
n = 3 によって、上の式を Σ 無しで書くと、
(2a[2] + 6a[0]) + (6a[3] + 4a[1])x + 2a[2] x^2 + 0a[3] x^3 = 0.
この式が x について恒等式になるのだから、各項の係数が 0 になるように、
2a[2] + 6a[0] = 6a[3] + 4a[1] = 2a[2] = 0.
これを解いて、a[2] = a[0] = 0, a[1] = (-3/2)a[3].
すなわち、f(x) = a[3] { x^3 -(3/2)x } と書ける。
f(1) = -1 より、a[3] = 2.

(＊)の箇所で、f に n-1 次以下の項があろうがなかろうが、n 次項の係数から
n の値を決めていることが、見て解ると思います。
でも、式を書くのが煩わしいですよね。
質問文中の解答例は、ゴチャゴチャした式を書くのを避けて、
これと同じ話を n 次項だけで説明しているのです。

Tofu-Yo · Answer

追記のご質問に回答します。

もちろんg(x)も含めて代入して～=0ということであり、最高次の項の係数のみが0であるだけではなく、全ての項の係数が0になります。しかし、nを求めるには最高次の項の条件のみで求まってしまうので、そこだけに注目しているだけです。

しかし、他の項の係数もちゃんと0になるfがあるかどうかは自明ではないので別途確認しなければなりません。

ちなみに自分は具体的に求めないままに回答していますのでこういう言い方ですが計算したらfは一つに決まるかも知れません。ご了承を。

178-tall · Answer

>｛最高次 (an≠0) で等式を満たす必要がある｝ようですがなぜでしょうか？

f(x) = a(n)x^(n) + a(n-1)x^(n-1) + a(n-2)x^(n-2) + a(1)x + a(0)
として、「原方程式」左辺の係数表でも作ってみてください。
　　　　　　　↓ 左端だけでも…
　　　　　x^(n)　　　x^(n-1)
　　　　　-----　　　-------
　　6f 　　6a(n)　　　6a(n-1)
　-2xf'　-2na(n)　　-2(n-1)a(n-1)
　　f"　　　 0　　　　 n(n-1)a(n)

「原方程式」にて x^n (an≠0) の係数が零になるのは、6a(n) - 2na(n) = 0 の場合に限られるのがわかります。

そのあと、残りの係数が零になる関係式を作れば、f(1) = -1 で止めを刺せそうですヨ。

alice_44 · Answer

別に、f(x) = a(xのn乗) を代入した訳ではありません。
各次数の項がそろった n 次式 f(x) を代入しているのですが、
代入後の式の n 次項の係数だけ見れば、そこの条件から
n の値が解ってしまうのです。

各次の係数を求めて f(x) を決定するにしても、
n = 3 が先に判っていれば、f(x) = a(xの3乗)+b(xの2乗)+cx+d
などと置くことができて、記述に便利です。

最初に f(x) = Σ[k=0～n] a[k] (xのk乗) と置いて、
代入後の係数を n 次項から順に見てゆけば、同じことです。
しかし、Σ が出てくると、式の取り扱いが面倒ですよね。

Tofu-Yo · Answer

ちょっと不親切な解答に感じます。わかりやすく言うなら、a≠0、g(x)をn-1次以下の整式として、

f(x)=ax^n+g(x)

とおいて、与えられた式に代入し、n次の項だけ取り出して係数=0からnを導くという方がいいでしょう。

n-1次以下の整式であるg(x)はn次の項に影響し得ないので最初からgを省略したのが解答だと思いますがその旨一言あってもいい気がします。

それと、n=3とわかっても具体的にそのようなfが存在するかはこの場合そんなに自明じゃありませんので、1つでもfの具体例を挙げて存在を明確にするのも必要じゃないかと思います。

数学の解説でわからないところがあります

わかったかもしれません。

ANo.9 のリピート。

← A No.8 補足

とりあえずf(x)=ax^n+…のaをa=0と言ってるのではありません。

ひとまず、ゴール候補まで。

実際に、Σ でやってみましょうか。

追記のご質問に回答します。

>｛最高次 (an≠0) で等式を満たす必要がある｝ようですがなぜでしょうか？

別に、f(x) = a(xのn乗) を代入した訳ではありません。

ちょっと不親切な解答に感じます。

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング