持続係数というのがあるらしいのです。例えば、49→36→18→8というふうに、各位の数字を掛け合わせて、次の数字を出し、その数字の各位を掛け合わせてその次の数字とする。こうやって、最後一桁の数字が出るまで展開します。上の場合だと、3回展開しているので、49の持続係数は3になるのだそうです。そこで、問題なのですが、持続係数が4になる最小の数は何でしょうか?しらみつぶしに探せば、たぶん77だと思うのですが、答えは見つかりますが、何か漸化式のようなもの、あるいは公式・法則はあるのでしょうか?どなたか、ご教唆願えないでしょうか?よろしくお願い致します。
A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
alice_44 先生の補足(0で終わる場合)
0←10←25←55
0←10←52
0←20←45←59
0←20←45←95
0←20←54←69
0←20←54←96
0←30←56←78
0←30←56←87
0←30←65
0←40←58
0←40←85
以上から,あなたのおっしゃるとおり持続係数が4になる最小の自然数は77のようです。
No.3
- 回答日時:
0 を忘れていました。
A No.2 の表に現れる二桁の数が少なすぎるので、
なんとなく変だとは思ったのですが。
さて、「0」が一桁の数か?というと…
「0100」を普通は四桁でなく三桁と言うことや、
桁数と常用対数の関係などを見ても、
「0」を一桁と呼んでよいかはカナリ疑問です。
とはいえ、任意の自然数に対して「持続係数」を
定義するためには、「→0」となる列も
認めたほうが都合は良さそうです。
で、「0←」も含めて表を拡げると、
55→25→10→0 となる 55 が、
持続係数 4 となる最小数のようです。
No.2
- 回答日時:
シラミツブシと言っても、「持続係数」を端から計算するだけ
というもの何だか悔しい。手計算で少し喰い下がってみましょう。
49→36→18→8 が例示されていれば、77→49 には
気がつくので、二桁の数で他に持続係数が4になるものを探します。
この問題の「→」で、数の桁が増えることはありません。
一桁の数 n 個の積は 9^n 以下だからです。
よって、「→」を逆にたどってみるとき、一桁の数2個の積に
分解できない数が出てきたら、そこから先は行き止まり or 三桁以上
なので、もうたどらなくてよいことになります。
この一点だけを手掛かりに、1~9 から逆にたどってみます。
1←11
2←12←26
2←12←62
2←12←34
2←12←43
2←21←37
2←21←73
3←13
3←31
4←14←27←39
4←14←27←93
4←14←72←89
4←14←72←98
4←41
5←15←35←57
5←15←35←75
5←15←53
5←51
6←16←28←47
6←16←28←74
6←16←44
6←16←82
6←61
7←17
7←71
8←18←29
8←18←92
8←18←36←49←77
8←18←36←94
8←18←63←79
8←24←38
8←24←83
8←42←67
8←42←76
8←81←99
9←19
9←91
これで全部。
二桁の数で持続数4のものは77だけであることが確かめられました。
ありがとうございます。地道に計算するしかないようですね。二桁の整数でこれだけ大変なのですから、三桁、四桁・・・となったら、想像を絶しますね。この問題は、別名「ポセイドンの数列」とも呼ばれているようです。数列である限り、漸化式があるはずです。なんとかしてそれを発見したいですね。ありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
>…持続係数が4になる最小の数は何でしょうか?しらみつぶしに探せば、たぶん77だと思うのですが、答えは見つかりますが、何か漸化式のようなもの、あるいは公式・法則はあるのでしょうか?
"persistence of a number" で検索してみても、コンピュータで「しらみつぶし」させるしかなさそうですね。
http://www.daniweb.com/software-development/c/th …
"Unsolved Problems in Number Theory " にも記されているようで、規則性は解明されてないらしい。
勘定するだけならスプレッドシート上でも簡単に組めるけど、確かに不規則…。
"multiplicative persistence of a number (乗算耐久数 ?) " が 4 になる最小数は 77 。
→ 参考 URL >persistence of a number
参考URL:http://www2.research.att.com/~njas/doc/persisten …
ありがとうございます。大変助かりました。かなりの難問なんですね。それがわかっただけでも、生徒に自信をもって話できますし、自分でも公式あるいは法則を見つけてやろうという気になれます。本当に、ありがとうございました。
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