助けてください。統計学の問題がわかりません。

統計学の問題です。
全然わからないので、どなたか、ご教授お願いします。
どの定理を使えばいいのかもわかりません。

計算過程も書いてもらえると助かりますm(__)m

問題：
離散確率変数Ｘ，Ｙがあり、それらのとる値をｘ、ｙとして、確率分布は以下の表で与えられている。

表は画像でご確認ください。

１、ＸとＹの相関関数を求めよ。
２、ＸとYは独立かどうか判定せよ。

回答よろしくお願いします。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2011/07/13 04:54

#1です．

訂正です．

ρ＝　Σ（xi－x_bar）（yi－y_bar）　／　√Σ（xi－x_bar）^2・√（yi－y_bar）^2

2乗を忘れていました．正しい式は教科書で確認して下さい．

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2011/07/12 01:12

応用統計学で学位（工学）があり，企業で品質管理の推進をする立場の者です．

もう遅いかもしれませんが，回答を示します．

この問題は，
・独立なら無相関　は真
・無相関なら独立　は偽
を実際に体験する問題です．

1.相関係数はいくらか．
相関係数の公式は分かっていますか?

ρ＝　Σ（xi－x_bar）（yi－y_bar）　／　√Σ（xi－x_bar）√（yi－y_bar）

この式に代入する為には，（xi，yi）の組が必要です．
問題文の表は全部で5つの（xi，yi）の組があることを示しています．
上の式を見ると，あらかじめ平均を引いておくと便利だとわかるので，
平均を引いて，次のように補助表を作成し，5つの（xi，yi）の組を用意します．

X　Y
-1　0
　0　-1
　0　0
　0　1
　1　0

分母を計算するまでもなく，分子となるX,Yの積和はゼロですので，ρ＝0 （無相関）です．

2.独立かどうか
独立の条件は，p（X,Y）＝p（X）× p（Y）　です．p（）は確率です．

例えば，2つのサイコロの目が（1，1）となる確率は，p（1，1）＝1/36，
1個目のサイコロのp（1）＝1/6，　2個目のサイコロのP（1）＝1/6
1/36 ＝ 1/6　×　1/6 で，等号が成立します．
この時，2つのサイコロの目の出現事象は独立であると言えます．

では，この問題のケースで考えてみましょう．表より，
p（0，0）＝1/5
Xについて，p（X=0）＝3/5
Yについて，p（Y=0）＝3/5

p（0，0）≠p（X=0）× p（Y=0）となり，独立ではありません．
（反例は1個で十分）

補足(1)：今，全体で50のデータセットがあり，その出現確率は，
表の真ん中を（0，0）として，次のようであるとします．
　　0　　1/50　　　0
1/50　46/50　1/50
　　0　　1/50　　　0

すると，
p（0，0）＝46/50＝0.92
Xについて，p（X=0）＝48/50
Yについて，p（Y=0）＝48/50
p（X=0）× p（Y=0）＝0.9216

とかなり近い確率になります．
すなわち，このような真ん中が高い富士山型
（2次元正規分布あるいは2次元ガウス分布）であれば，
独立になります（もちろん，相関係数が0である場合）．

反例は1つで十分と書きましたが，
なぜ，中央を狙い撃ちしたかというと，このような基礎知識があるからです．

補足(2)：相関が0だけど，独立でない事例
一般的に教科書にでる事例は，
（0，0）を中心とした半径1の円周上に等間隔にデータが並ぶ場合で，
相関係数が0になりますが，x，yは
x^2 ＋ y^2 ＝ 1　という「互いに従属」な状態にあります．