数列の収束について

数列{an}が定数r(0<r<1)に対して、|an+1-an|≦r|an-an-1| (n=2,3,…) をみたすならば、{an}は収束することを示せ。

という問題です。
どのように証明すればよいのかまったくわからないので詳しく説明していただけると助かります。
よろしくお願いします。

No.6 回答者： noname#151558 回答日時： 2011/07/12 19:04

>>lim(N→∞)L(N)/L(N-1)がうまくrで押さえられる

ここが間違っていたようだ。うまく不等式が別解として作れないかな。

No.5 回答者： tmpname 回答日時： 2011/07/07 23:20

#3さんへ

例えば
a(n)= Σ(1≦k≦n) (r^k)
　　 = r + r^2 + … + r^n
　　 = r * (1-r^n)/(1-r)
を考えてみます。
この時a(n+1)-a(n) = r^(n+1)なので確かに問題の
不等式を満たしますが、lim(n→∞) a(n) = r/(1-r)で
あって別に0ではありません。

#4さんへ
別に何の問題も無いかと

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/07/07 22:36

|a[n+1]-a[n]| ≦ |a[2]-a[1]|・r^(n-1) から

優級数収束によって Σ|a[n+1]-a[n]| は収束。
よって Σ{a[n+1]-a[n]} は絶対収束。
…じゃ、ダメなの？

No.3 回答者： noname#151558 回答日時： 2011/07/07 16:13

|a(n＋1)-a(n)|→0 (n→0)

が成り立つからといってa(n)が収束するという根本的な間違いは自分もしやすい。
この回答だけでなくさまざまな方向転換してやることで数学の面白みが湧いてくる。

Nを十分大きな自然数でfixして以下の等式変形が成り立つことを用いる。
　　　　
　　　　　　　　　∑(k=1→N)a(k)=∑(k=1→N){k*(a(k)-a(k＋1))＋a(N＋1)} ・・・・(1)

このとき(1)の右辺がN→∞にもっていったときに収束すればlim(n→∞)a(n)=0が言えてOK.
右辺を考えると
|∑(k=1→N){k*(a(k)-a(k＋1))＋a(N＋1)}|≦∑(k=1→N){|k*(a(k)-a(k＋1))|＋|a(N＋1)|}
・・・・・(2)

ここで(2)の右辺の∑の中身をLkとおくと　
　　　　　　　　　　　　lim(N→∞)L(N)/L(N-1)がうまくrで押さえられる。
これはa(N＋1)の有界性と質問に書いてある不等式をうまく利用すれば分かる。(各自で試みよ)
したがって(2)の右辺は絶対収束するので左辺も収束する。したがってlim(N→∞)a(N)=0になる。

No.2 回答者： tmpname 回答日時： 2011/07/06 23:18

ヒントだけ

|a_(n+1) - a_n|が nを無限大に飛ばした時0に収束することを
示すだけではダメ。
しかし、高校の時習った色んな級数を考えれば、(a_n)が
Cauchy列であることが示せるはず。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/07/06 23:11

まじめにやるならきのうほう