ナビエストークス方程式の研究がしたい

Question

こんにちは。
ある大学の物理学科の学部2年生です。
僕は大学に入学して半年ほどして流体力学に興味がわきました。
ですが、物理学科には流体力学を扱う講義も先生もいないので1年のときから独学で流体力学を勉強しはじめました。
そして、流体力学のナビエストークス方程式にものすごく心惹かれました。
解析解も見つかっておらずまだまだわからないことだらけのところが面白いなあと思いました。
ナビエストークス方程式やそのほかの流体の方程式のバーガーズ方程式などの研究をしたいと思い自分なりに色々調べてみました。
すると、この種の研究をするにはかなり高度な数学の知識も必要だということがわかってきました。
しかし、自分の大学には現在流体を専門に扱っている人もおらず、どのような分野の数学が必要なのかいまいち把握しきれていません。
物理学科としての数学以外にも必要な数学の知識を独学で勉強しようと思うのですが、
このような方程式の研究を行う際、どのような数学的知識が必要になるのでしょうか？
自分は現在のところ、いわゆる物理数学の内容しか理解していません。
数学科が扱う抽象性の高い数学はまだ勉強できていない状態です。
アドバイスお願いします。

sat000 · Accepted Answer

#1です。
非線形方程式にちゃんとした解なぞ、元々存在しません。
解析的に解ける＝線形近似できる場合に、解析解が求まります。
もちろん、それはそれで大切なことなので、過去先達が色々やり(ランダウ=リフシッツとか)、本としてまとまっています。
解析的に解けない場合、一般に数値的に解きます。
数値的に解くわけですから、特定の条件の時の解になります。
そういう意味で一般化はされていませんが、それで良いのです。
もちろん、数値的にある条件を振りながら解いていった結果として、何らかの法則が見えてくる場合もあります。
そういう場合には、なぜそういう法則があるのかを追及すると新たな発展につながるでしょう。
ただそれは、漫然とあれこれ解いていれば見つかるわけではなく、ある特定の事象について理解を深めたいと、狙って解いていった場合に見えてくる場合もあるということです。
もちろんそのような法則なぞ無い場合もあります。
繰り返しますが、ナビエストークス自体は完成された方程式と考えられています。
物理とは何かということを考えた時に、ある自然現象を数式として記述するということであれば、ナビエストークスができた段階で終わっています。

sat000 · Answer

流体力学は多くの大学では機械工学科等で扱われていると思います。
機械工学科があるようなら、他学科の講義も受講できるのではないかと思います(単位との関係は別にして)ので、履修申請を出してみると良いと思います。
本格的に学びたい場合は、学科を変える方がベターかもしれませんが。
それと、ナビエストークスは別に謎な方程式ではありません。
簡単な方程式ではないと思いますが、支配方程式としては完成形と考えられているのではないでしょうか(多相流の場合は少し事情が異なると思います)。
非線形なので解析的に解ける場合が原理的に限られますが(ただ、特定の条件での解析解は知られている)、数値的に解くことは、様々な分野において一般的に行われています。
昔は計算機の能力が追い付かなかったので、ある部分を簡略化して計算するような手法が発達しましたが、近年では乱流等のような複雑な流れでも直接ナビエストークスが解かれているようです。
数学的には偏微分方程式およびその解析的、数値的解法を知ればナビエストークスを扱えるようになるかと思います。
実際に数値的に解くには、結構色々ノウハウがあるようなので、数値シミュレーションの手法の勉強も必要になるでしょう。

ナビエストークス方程式の研究がしたい

#1です。

流体力学は多くの大学では機械工学科等で扱われていると思います。

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