Ｘ、α軸で円が移動した時のＸ、Ｙ軸中心座標その２

図をつけて同じ質問します。
Ｘ軸と、Ｘ軸と角度θ（反時計回りが正）にあるα軸平面で、原点を中心とする半径ｒの円が移動して、Ｘ切片がｒからｒ+ｘ１、α切片がｒからｒ+α１になった時、円の中心座標はＸ軸、Ｙ軸平面で（0,0）からどこに移動するのでしょうか？。
以前同様の質問をして、この場合、Ｘ，Ｙ座標で（ｘ、ｙ）＝（ｒ+ｘ１、０）、（（ｒ+α1)cosθ,(r+α1)sinθ)の２点を通るので、円の方程式(x-p)^2+(y-q)^2=r^2に２点を代入して引き算し、ｐの２次方程式を解いて、ｐ、ｑを求めれば良いと教えてもらいました。
しかし何度方程式を解いても作図した正解と答えが一致しません。誰か方程式を解いてみてくれませんでしょうか？。または他の方法を教えてください。
よろしくお願いします。

ちなみに私が上記方法でｐの２次方程式を解くと、
A=r+x1,B=r+α1として、
　　 ap^2+bp+c=0
a=1+(4A^2-8ABcosθ+4B^2cosθ^2)/(2Bsinθ)^2
b=-2A+4{-A^3+BA^2cosθ+AB^2-B^3cosθ}/(2Bsinθ)^2
c=A^2+(A^4-2A^2B^2 +B^4)/(2Bsinθ)^2-r^2
になりました。よって
p=(-b±√（b^2-4ac))/2a
q=(2Ap+B^2-A^2)/2B
になります。しかしこの答えは作図して確認すると正しくないようです。

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2011/08/14 01:57

＃１です。

問題を簡潔にすると、
「定点２点を通る半径rの円の中心は？」
としてもいいですよね。

２点を通るのだから、円の中心は２点を結ぶ線分の垂直二等分線上にあります。

それを踏まえて、


＞tanβ=-(Ax-Bx)/(Ay-By)
＞とありますが、なぜここの角度（頂点がα軸のｒ+α１の所の角）が
＞βと等しいといえるのでしょうか？

βとは、線分ABの垂直二等分線の傾きの角度のことです。

点A,Bを通る直線の傾きは、(Ay-By)/(Ax-Bx) ですから、
それに直交する直線の傾きは、-(Ax-Bx)/(Ay-By) です。
（∵直交する２直線の傾きの積は－１です）


＞θが0-90度の間は合っているようなのですが、それ以外のθでは
＞合っていなかったり、解が不定になったりしてしまいます。
＞それぞれの象限ごとに式が異なるのでしょうか？

θが0-90度以外でも大丈夫なはずです。
どこか計算ミスしていませんか。
具体的な数値をあげてもらえればこちらでも検証します。


なお、答に±がついているのは、２点を通る半径rの円は２つあるからです。
２点間の距離がちょうど2rなら答は１つ。
２点間の距離が0なら不定、
２点間の距離が2rより大きければ解なしになります。

この回答への補足

nag0720さん
回答ありがとうございます。
始めはα軸の正負の向きが角度のよってどちらなのか良くわからないでやっていて解がおかしかったりしたのですが、θの角度側をα軸の正としてやると解が求まった場合はすべて作図と近い結果になりました。
しかしそれでも何通りか解が不定になり、不定の時はＰＣの長さPC=√(r^2-(Ax-Bx)^2/4-(Ay-By)^2/4)のルートの中が負になっていました。
2点間の距離が２ｒ以上になっているわけではないと思ったのですが、作図をよく見ると不定の時はちょうど2点を結ぶ線が円の中心近くをとおっていて、作図読み取りの誤差で距離が２ｒ以上になっていたようです。
もう少し正確に作図して検証してみます。
以下はそれに気づく前の検証結果なので、もう見ていただかなくてもよいと思いますが気づく前に書いてしまったので一応載せておきます。
アドバイスありがとうございました。


Ax=r+x1、 Ay=0
Bx=αｘ＝(ｒ+α1)cosθ、By=αｙ＝(r+α1)sinθ
PC=√(r^2-(Ax-Bx)^2/4-(Ay-By)^2/4)
tanβ=-(Ax-Bx)/(Ay-By)
sinβ=tanβ/√(tan^2β+1)、cosβ=1/√(tan^2β+1)
Px=(Ax+Bx)/2±PC*cosβ、Py=(Ay+By)/2±PC*sinβ
を使って、以下が検証結果です。

全てｒ＝２０で、移動後の中心（Ｐｘ、Ｐｙ）が
円(1)（8、5.5）、円(2)（-5.5、2）、円(3)（-6、-7）、円(4)（2、-8）
の４つの円に対して、
αの角度θがそれぞれ45度、135度、225度、315度の４通り、合計4*4の16通りについて検証しました。
ｘ１、α１は作図から概略値を読み取ると以下になります。α軸はθの角度側を正としました。
円(1)のｘ１＝8、α１（45度）＝10、α１（135度）＝-5、α１(225度)＝-10、α１（315度）＝0。
円(2)のｘ１＝-5、α１（45度）＝-3、α１（135度）＝4.5、α１(225度)＝2.5、α１（315度）＝-4.5。
円(3)のｘ１＝-7、α１（45度）＝-9、α１（135度）＝-3、α１(225度)＝9、α１（315度）＝-1。
円(4)のｘ１＝1、α１（45度）＝-5、α１（135度）＝-7.5、α１(225度)＝3、α１（315度）＝7。

このｘ１、α１を使って上記式でＰｘ、Ｐｙを求めました。答えは2通りでますが作図に近いほうのPx=(Ax+Bx)/2-PC*cosβ、Py=(Ay+By)/2-PC*sinβを見ています。

円(1)（8,5.5）の計算結果は、α45度の時（8.8,5.5）、α135度の時（不定）、α225度の時（8.7、5.2）、α315度の時（8.7,5.1）で、α45度と215度と315度は正解に近いが135度は不定。
円(2)（-5.5,2）の計算結果は、α45度の時（-4.9,1.4）、α135度の時（-4.9、1.6）、α225度の時（-5.0、0.8）、α315度の時（-5.0、1.1）で、すべて正解に近い。
円(3)（-6、-7）の計算結果は、α45度の時（-5.8、-6.9）、α135度の時（-5.7、-7.0）、α225度の時（-5.7、-7.0）、α315度の時（-5.6、-7.3）で、すべて正解に近い。
円(4)（2、-8）の計算結果は、α45度の時（2.5、-7.7）、α135度の時（2.5、-7.6）、α225度の時（不定）、α315度の時（2.6、-7.8）で、α45度とα135度と315度は正解に近いが225度は不定。
という結果になりました。
解が求まったものはすべて作図に近い結果ですが、何とおりかは解が不定になります。不定の時はＰＣの長さPC=√(r^2-(Ax-Bx)^2/4-(Ay-By)^2/4)
のルートの中が負になっています。
初めに書いたように不定になっている場合は、2点を結ぶ線が円の中心近くを通っています。このため作図読み取りの誤差で距離が２ｒ以上になっていたようです。

補足日時：2011/08/14 23:36

No.2 回答者： B-juggler 回答日時： 2011/08/13 14:54

ども、ここ数日「何かがおかしい」と思い続けて、

おかしいことに気がつきました。

これ代入してはいけない。やっぱり。

例えば、θ＝０　のとき、　ｘ１＝α１　になりますよね。

ただこのときも、ｘ軸上に移動後の円の中心があるとは限らない・・・。

多分、線形変換したほうが早そう。

α軸と直交する、β軸かなにか作って（Ｙ軸からθ　反時計回りに傾ける）、

α－β　平面で求めた中心を、行列式で　Ｘ－Ｙ平面に変換する？

そんな手を使わないと、普通に幾何学やると難しいと、思いました。

ただし、この場合も、β軸の切片がもとまるかどうか？
　＃多分、図ではでてないんじゃないかな？
と、なると、α軸の切片をもう１つ出さないといけないし・・・。

もうちょと考えます～　。　　ｍ（＿　＿）ｍ

この回答への補足

B-jegglerさん

何度もありがとうございます。
何かやっぱり難しそうになってきましたが、
よろしくお願いします。

補足日時：2011/08/13 20:34

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2011/08/12 04:32

別の方法を

(r+x1,0)をA(Ax,Ay)、
((r+α1)cosθ,(r+α1)sinθ)をB(Bx,By)、
移動後の円の中心をP(Px,Py)、
線分ABの中点をC、
線分ABの法線の傾きの角度をβとすると、
PC=√(AP^2-AC^2)=√(r^2-(AB/2)^2)=√(r^2-(Ax-Bx)^2/4-(Ay-By)^2/4)
tanβ=-(Ax-Bx)/(Ay-By)
sinβ=tanβ/√(1+tan^2β)
cosβ=1/√(1+tan^2β)

Px=(Ax+Bx)/2±PC*cosβ
Py=(Ay+By)/2±PC*sinβ

この回答への補足

nag0720さん

回答ありがとうございます。
さっそくやってみました。
１点理解できなかったのは、
tanβ=-(Ax-Bx)/(Ay-By)
とありますが、なぜここの角度（頂点がα軸のｒ+α１の所の角）が
βと等しいといえるのでしょうか？。

それから、いろいろと作図してみて回答を比べてみたのですが、
θが0-90度の間は合っているようなのですが、それ以外のθでは
合っていなかったり、解が不定になったりしてしまいます。
それぞれの象限ごとに式が異なるのでしょうか？。

できればアドバイスお願いします。

補足日時：2011/08/13 21:41