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質問させていただきます。以下の微分はどうやって考えればよいでしょうか。

(d/dt)∫[0→t] g(s)f(t-s)ds

fが変数tを含んでいるのでどうしたらよいか分かりません。外に出すこともできないので・・・。

A 回答 (3件)

sによる積分ではtは定数として扱えばいいです。



不定積分∫g(s)f(t-s)ds (0≦s≦t)の原始関数をH(s)とおくと
 (d/ds)H(s)=g(s)f(t-s) → (d/dt)H(t)=g(t)f(t-t)=g(t)f(0) …(☆)

∫[0→t] g(s)f(t-s)ds =H(t)-H(0)
tで両辺を微分して
 (d/dt)∫[0→t] g(s)f(t-s)ds =(d/dt)H(t)
  =g(t)f(0) (∵(☆)より)
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xとyの関数 z=∫[0→x] g(s)f(y-s)ds と する。


x,y がtの関数で x=t,y=t  の場合、zはtの関数で
dz/dt=∂z/∂x*dx/dt+∂z/∂y*dy/dt
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H(u,w) = ∫[0→u]g(s)f(w-s)ds と置くと、合成関数の微分法則より、


(d/dt)H(t,t) = (∂/∂u)H(u,t)[u=t] + (∂/∂w)H(t,w)[w=t] です。
(∂/∂u)H(u,t) は、微積分学の基本定理より g(u)f(t-u) です。
(∂/∂w)H(t,w) のほうは、f が滑らかであれば、
微分と積分の順が交換できて、∫[0→t]g(s)f’(w-s)ds になります。
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