積分の微分

質問させていただきます。以下の微分はどうやって考えればよいでしょうか。

(d/dt)∫[0→t] g(s)f(t-s)ds

fが変数tを含んでいるのでどうしたらよいか分かりません。外に出すこともできないので・・・。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/10/02 15:01

sによる積分ではtは定数として扱えばいいです。

不定積分∫g(s)f(t-s)ds　(0≦s≦t)の原始関数をH(s)とおくと
　(d/ds)H(s)=g(s)f(t-s) →　(d/dt)H(t)=g(t)f(t-t)=g(t)f(0) …(☆)

∫[0→t] g(s)f(t-s)ds =H(t)-H(0)
tで両辺を微分して
　(d/dt)∫[0→t] g(s)f(t-s)ds =(d/dt)H(t)
　　=g(t)f(0)　（∵(☆)より）

No.3 回答者： hugen 回答日時： 2011/10/02 17:28

xとｙの関数　ｚ=∫[0→x] g(s)f(y-s)ds　と　する。

x,y がｔの関数で　x=t,y=t　　の場合、zはｔの関数で
dz/dt=∂z/∂x*dx/dt+∂z/∂y*dy/dt

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/10/02 15:09

H(u,w) = ∫[0→u]g(s)f(w-s)ds と置くと、合成関数の微分法則より、

(d/dt)H(t,t) = (∂/∂u)H(u,t)[u=t] + (∂/∂w)H(t,w)[w=t] です。
(∂/∂u)H(u,t) は、微積分学の基本定理より g(u)f(t-u) です。
(∂/∂w)H(t,w) のほうは、f が滑らかであれば、
微分と積分の順が交換できて、∫[0→t]g(s)f’(w-s)ds になります。