円の方程式は関数ですか？

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質問者：yoshiki_1992
質問日時：2010/08/03 10:35
回答数：6件

円の方程式は関数ですか？
数Iの参考書に「関数とは変数と関数値で１対１の対応ができるものである」とありました。
よって、円の方程式はy=±(xの式)と変形することにより、１対２になってしまうから、関数とは言えないと思っていたのですが、
数IIIでは、「陰関数の微分」の項目で円の方程式の微分が出てきます。
陰関数も関数だから、円の方程式は関数ということになりますか？（質問１つめ）

また、円の方程式を陰関数表示したときの、変数と関数値はそれぞれ何になりますか？（質問２つめ）

それぞれ解答お願いします。

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回答 (6件)

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No.6

回答者： sak_sak
回答日時：2010/08/28 23:50

「1対1対応」のことを「1価」といいます。

また、z=x^2+yのような関数が存在できることも想像できるかと思いますが
xとyという2つの要素(元)からzが決まるので、これを「2元」と言います。
指導要領によって違いますが、ある時期までは1元1価関数のみを「関数」と習います。
質問文から察するに数Iの定義ではそうなっているのでしょう。

しかし、学年が上がると、x=y^2のような多価関数も関数と呼びます。
円を習う数学IIからなのか、二次曲線等を習う数学IIIからなのかはわかりませんが。

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No.5

回答者： newjackmasa
回答日時：2010/08/06 18:11

高校の数Iの定義で「１対１対応」ってなってます？

私の中学数学での定義は「多対１」だったです。二次関数のような中学で習う関数が「多対１」ですし。
※数学の定義は習う課程で変わりますからね。ベクトルの定義とか。

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No.4

回答者： boiseweb
回答日時：2010/08/03 18:24

この疑問を解消するには，「関数」という言葉を杓子定規に「（大域的に）関数値が常にひとつに定まる」ものにだけ使うのでなく，少し柔軟に考える必要があります．

微分というのは，注目している（微分を知りたい）点の「すぐ近く」の状況だけがわかれば可能で，注目している点から遠く離れたところで何が起こっているかとは無関係に微分が定まります．
陰関数の微分というのは，こういう考えでなされています．だから，全体として「関数値がひとつに定まる」という状況が崩れていても，「ひとつの点に注目して，その点で微分する」ということは依然として意味を持ちます．

円の方程式は，全体として見ると，x から y への対応としての関数とはいえませんが，円周上の特定の点（3時と9時の位置にある2点を除く）に注目して，その点のすぐ近くだけに視野を狭めれば，x から y への対応としての関数とみなすことができます．だから，その点では陰関数の微分を使って dy/dx を求めることが可能です．
たとえば，2時の点に注目して陰関数の微分で dy/dx を求めると -√3 になります．2時の点のごく近くに限って関数の形に直して（つまり±のプラスのほうを選ぶ）微分して dy/dx を求めても，やはり -√3 になります．
そして，この一連の議論をするときに，x座標が同じでy座標が違うもうひとつの「遠く離れた」円周上の点（4時の点）の存在はそもそも気にする必要がありません．陰関数の微分を議論するときには「2時の点と4時の点があるから円の方程式は関数になってないじゃないか！」と目くじらを立てる必要はないのです．

2つ目の質問の答は，「どっちでもいい」というか，「それは，見る人（局所的であれ大域的であれ，陰関数を関数と捉えなおそうとする人）が決めるべきこと」でしょう．円の方程式を2時の点に注目して局所的に見るとき，それを y から x への対応としての関数とみなすことも可能で，それを微分すると dx/dy = -1/√3 となります．

No.1さんの回答は，円の方程式の =0 の部分を =z に置き換えて「1次元高いところに持っていって捉えなおす」という話なので，少し注意して読み解く必要があります（=0 を =z に置き換えた時点でそれは「円の方程式」ではなくなっています）．
でも，実は，陰関数の微分をきちんと理解するためにはこのような見方が必要で，大学での微積分ではそれを本格的に学びます．