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元の文献では、〔や〕 は、二重かっこです。
単に 「R⊆RQ が成り立つ」 というのとどう違うのでしょうか?

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A 回答 (3件)

ANo.2に付けられたコメントについてです.



> 少なくとも、普通の集合論の⊆ じゃないです。
> 何故なら、そう仮定すると、
> RQ つまり、量子物理量は、実数を含み より大きな集合になります。

 「普通の集合論の⊆」であれば,「RQはRを含み,より大きいか,あるいは同じ」という意味でしょうから,おっしゃるような矛盾に直結する訳じゃないでしょう.
 ただし,Rが普通の実数のことで,RQがV(Q)の部分集合であるとすると,両者が直接「⊆」で結ばれっこないわけで,ならば「⊆」はRとRQの(普通の論理での)準同型関係を言っているように思われます.
 さて,もしも「V(Q)上の数」の構成が超積の格好になっていたら,それは超準解析学を定義しているのかも.そうなると,「(準同型の意味で)RQがRを真に含む」というのもアリでしょう.

> 有限または可算無限次元の行列からなる集合が、実数の集合より大きい となる
> のは矛盾

 RQは「有限または可算無限次元の行列からなる集合」と対応するんですか?(いやそれは書いてあったっけ?)そうだとしても,RQの部分集合が「有限または可算無限次元の行列からなる集合」と相応すれば十分なのでは?
 また,もしかすると,「可算無限次元行列の代数」や「ヒルベルト空間の代数」というモデルでは扱えないところをやるためにこそ,こんなややこしいV(Q)を持ち出した,ってことはないでしょうか.たとえば,「有限または可算無限次元の行列からなる集合」よりも広い集合を使うことで,連続の場合も統一的に扱うとか.

 とか言ってますが,「束に値を持つ多値論理上の集合論で数を構成する」という話がどうも今ひとつ分かってないもんですから…
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この回答へのお礼

追及いただき、ありがとうございます。

小澤正直博士の一連の論文を読むと、
射影仮説は、量子力学の「公理」の一つとされていますが、
小澤正直博士は、これに異を唱えて、射影仮説を用いない「量子力学の体系」を
築こうとされているようです。
おそらくですが、そのために、「束に値を持つ多値論理上の集合論で数を構成する」
のだと思われます。

参考までに:
   波束の収縮という概念について(I) :科学基礎論研究1995,Vol.23,No.1,P 15
   波束の収縮という概念について(II) :科学基礎論研究1996,Vol.24,No.1,P9
   波束の収縮という概念について(III) :科学基礎論研究1997,Vol.25,No.1,P25
   波束の収縮と再現性の概念的差違について(III) :科学基礎論研究1997,Vol.25,No.1,P55
   非可換観測量の同時測定可能性 :数理解析研究所講究録 第1565巻2007年133-142
   量子力学における測定と実体:2010科学基礎論学会  http://phsc.jp/dat/rsm/20100613a3.pdf

科学基礎論研究の論文は、 http://www.journalarchive.jst.go.jp/japanese/top … で、上記を検索したら出てきます
   (詳細検索で、著者名を  小澤正直  と指定すれば、簡単です)

尚、初期の論文は、非選択測定において、射影仮説を用いないことに成功していますが、
これは、通常の測定には、当てはまらないとされています。
清水明博士の2007年の文献:http://as2.c.u-tokyo.ac.jp/archive/handai2009.pdf
によると、
物理量Qの測定とは、観測者がQについての情報I を得る行為で、
I≡log2 [その測定により区別できるようになる状態の数]
とすると、非選択測定では、I=0 です。
I>0 になるためには、射影仮説が必要
とあります。
測定について不可思議な論文を見かけたら、そのあたりを注意するべし 
とまで書かれていてますw

お礼日時:2011/10/26 21:21

ANo.1のコメントについてです.



> 「14 量子集合論」に出てきます。

ぬわんと,量子論理の話でしたか.

> 集合a,b間の関係 a∈b,α~∈b,a=b,a≠bはそれぞれ

>[a∈b]=1,[a~∈b]=0,[a=b]=1,[a=b]=0

>と同等。 (集合間の関係は、普通、∈じゃなく⊂で表すと思いますが)

>とあります。

 多分,a∈bは「aはbの要素」という意味でしょう.集合が集合の要素になって何もおかしくない.またα~∈bは[a∈b]=0では? で,結局「⊆」が何なのか書いてないし.


>Q を完備オーソモジュラー束とし、

>V (Q) を,Q 値モデル(Q値集合論),

>V (Q) の元を Q 値論理における集合(Q 値集合)とすると、

 てことは,完備オーソモジュラー束Q上に値を取る論理を考えている.量子論理なら多分「完備オーソモジュラー束」ってのは演算子の集合のことだろうが,これも多値論理の一種ではある.たとえば,Q値集合Xとその要素xとの関係は

[x∈X]∈Q (ただし,[]の外側の"∈"は普通の集合論の記号.ああややこし)

ということになるわけ.でもQの要素の表記について説明がないから,[x∈X]=1とか言ってみても意味不明である.(ま,おそらくは束Qの最小元を"0", 最大元を"1"と書いているんだろうと思いますが.)しかし,V (Q)の正体が書いてないから「Q値集合」や「Q値集合の要素」の実体が何なのか不明.つまり

> V (Q) の自然数の全体はω に対応し,V (Q) の有理数の全体は 有理数Q に対応する.
> V (Q) の実数の全体RQ は,V (Q) で定義される有理数のデデキント切断の全体として定義される.


と言うときの「V (Q) の自然数の全体」だの「V (Q) の実数の全体RQ 」の意味も不明.(それに,記号Qが2通りの意味に使われている?おそらく元の表記ではフォントが異なるのでしょうけれど.)
 おそらくV(Q)が「自然数と1:1対応が付けられる無限集合」や「有理数と1:1対応が付けられる無限集合」や「実数と1:1対応が付けられる無限集合」を含んでいる,ということでやんしょう.しかしこれはV(Q)をどう定義したかによって決まるわけ.
 もしV(Q)の構成法が具体的に与えてあるのだとすれば,多分その定義は,普通の集合論における論理をブール値Q={0,1}を取るような2値論理(たとえば"0"は偽,"1"は真を表すことにする)で書き換え,さらに,Qを適当な完備オーソモジュラー束で置き換えたもの(ただし"0"を束の最小元,"1"を最大限と対応づける),という形をしていて,その結果として「V (Q) の自然数」だとか「V (Q) の実数」が(普通の集合論の普通のやり方に倣って)定義されるのだろうと思います.
 また,もしV(Q)の構成法が具体的には与えられておらず,ただその性質(公理)によって定義されていて,そしてその存在が証明される,という形になっているのだとしたら,「V (Q) の自然数」や「V (Q) の実数」もそれ自体,定義を与えて存在を証明する必要がある筈.
ま,それはともかく,

> すると,[R ⊆ RQ] = 1 となる.

 まず,右辺の1は普通の数ではなくて,Qの要素(多分演算子)である,ってところは要注意です.さて,[R ⊆ RQ]=1というのはおそらく,「普通の集合論の実数の集合RがQ値集合論の実数の集合RQに埋め込めるということを表しているんでしょうけれども,それが証明を要することなのかどうかはV(Q)の定義の仕方に依るだろう.また,V(Q)を「モデル」と呼んでいるってことは,その証明をV(Q)の体系の外側(普通の論理を使う)で行うという点にも要注意.(つまり,Q値集合論やQ値論理における記号と,普通の集合論や論理での記号とを厳密に区別しないと,混乱してぐちゃぐちゃになるでしょう).

 というわけで,ご質問の件を理解するためには,普通の集合論で自然数や有理数や実数を構成するやり方(いくつかの流儀があります)を数学基礎論の教科書でじっくり調べて,それをV(Q)の定義と比較してみることが必要だろう,ということだけは言えそうです.

この回答への補足

量子物理量は、ヒルベルト空間での演算子ですから、これは、
有限または可算無限次元の行列で表すことができますから、

有限または可算無限次元の行列からなる集合が、実数の集合より大きい となるのは矛盾

に訂正します。
(ヒルベルト空間には、非可算無限次元のベクトルは入らないから、演算子も可算無限次元の行列でいいと思うので)

補足日時:2011/10/25 12:22
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この回答へのお礼

丁寧な解説、ありがとうございます。

>結局「⊆」が何なのか書いてないし
ですね。
少なくとも、普通の集合論の⊆ じゃないです。
何故なら、そう仮定すると、
RQ つまり、量子物理量は、実数を含み より大きな集合になります。
量子物理量は、行列でも表すことができますから、
すべての行列(有限または可算無限次元とする)からなる集合Aは、実数の集合より大きい
となり、これは、矛盾です。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7090450.html より、Aは、実数の濃度)

お礼日時:2011/10/25 11:53

 この質問文では,多分誰にも


〔R⊆RQ〕=1
が何なのか分からないと思う.なぜならヒトクチに多値論理と言ってもいろいろあるし,その表記の仕方だって様々だからです.

(1) 二重カッコはおそらく「論理式の真偽値」を表す記号だろうと思われるが,ホントにそうなのかどうか.
(2) 「R」と「RQ」は一体何? また,「⊆」なんてケッタイな記号,中学校でやる集合の話ぐらいにしか出てこない筈だが,いやまさかそんな….ならば,「⊆」は何を意味する記号?
(3) どんな真偽値が許される多値論理を考えているのか不明.真偽値の集合は?
(4) その集合の要素のうちで,「Xが成り立つ」を意味する真偽値はあるか?もしあるのなら,それはどの要素?

 以上を補足しなくてはキチンとした回答は得られず,そして,もし補足できたなら,その時には回答は必要なくなる(ご自分でワカル)だろうと思います.
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この回答へのお礼

アドバイス、ありがとうございます。
多値論理は、よく知らないので、
こういう書き方は、一般的と思い込んでいました。
すみません。

〔R⊆RQ〕=1 は、小澤正直博士の論文:
http://mathsoc.jp/meeting/sougou/2008aki/2008_ak …
の、「14 量子集合論」に出てきます。
よく読み直すと、ちゃんと定義が書いてあり、
なんとなくは、わかりました。

この論文によると、
集合a,b間の関係 a∈b,α~∈b,a=b,a≠bはそれぞれ
[a∈b]=1,[a~∈b]=0,[a=b]=1,[a=b]=0
と同等。 (集合間の関係は、普通、∈じゃなく⊂で表すと思いますが)
とあります。
Rは、実数の全体の集合で、RQ は、、、

Q を完備オーソモジュラー束とし、
V (Q) を,Q 値モデル(Q値集合論),
V (Q) の元を Q 値論理における集合(Q 値集合)とすると、
V (Q) の自然数の全体はω に対応し,V (Q) の有理数の全体は 有理数Q に対応する.
V (Q) の実数の全体RQ は,V (Q) で定義される有理数のデデキント切断の全体として定義される.
すると,[R ⊆ RQ] = 1 となる.

お礼日時:2011/10/24 06:05

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