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計測の不確かさσは、σa、σb、σbの成分を含んでいる場合、

σ=√(σa^2+σb^2+σc^2)

で、表される。それぞれの成分は、独立な正規分布である。

との記載をいろいろなウェブサイトで見かけるのですが、なぜ2乗和平方根の形になるのでしょうか。



統計に関する知識はほとんどないです。どなたかご教授いただけると助かります。

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A 回答 (1件)

 計測の不確かさが3つの成分εa, εb, εcの和であって,ただし3つの成分は互いに独立で、(平均, 標準偏差)がそれぞれ(ma, σa),(mb, σb),(mc, σb)である正規分布に従う場合、計測の不確かさの標準偏差σは



σ^2 = σa^2+σb^2+σc^2

である。

 証明は計算が少々めんどうです。
ε= εa + εb
である場合についてやってみましょう。まずεaの確率密度は
pa(εa)=(1/(√(2πσa))) exp(-((εa-ma)^2)/(2σa^2))
εbの確率密度pbも同様。
εaとεbは独立なので、y = εa+εbの確率密度は二つの正規分布の畳み込み積分で表され、
p(y) = ∫ pa(y-t)pb(t) dt (積分は-∞~∞の定積分)
= (1/(2πσaσb)) ∫ exp(-((y-t-ma)^2)/(2(σa^2)) - ((t-mb)^2)/(2(σb^2))) dt (積分は-∞~∞の定積分)
この積分を計算すると、
p(y) = (1/√(2π√(σa^2+σb^2)))exp(-(y-(ma+mb))^2)/(2(σa^2+σb^2)))
これは平均がma+mb, 標準偏差が√(σa^2+σb^2)である正規分布です。
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