相対論の問題について

x軸に沿って速度vで移動するトロッコ（長さL）の真ん中に光源があり、光がトロッコのA端（進行方向）とB端に到着する事象をそれぞれA,Bとします。地上から見たとき、事象Aと事象Bの起こる位置のあいだの距離を求めよ。

上のような問題が出されたのですが、ローレンツ変換を使わないで解くことにはどのようにしたらいいのでしょうか。

ローレンツ変換を用いてところ、距離はγLとなったのですが、自信がないです。

No.3 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2011/11/21 11:39

地上系から見てトロッコは長さL/γに短縮しています。

光の発射時を時間原点にとると，Ｂ端に達する時間t1に対し，
L/(2γ) = (c + v)t1
∴t1 = L/{ 2γ(c + v) }
Ａ端に達する時間t2に対し，
L/(2γ) = (c - v)t2
∴t2 = L/{ 2γ(c - v) }
求める距離は，
c(t1 + t2) = γL
となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。図とにらめっこしながらじっくり考えてみます。

お礼日時：2011/11/24 10:47

No.2 回答者： ok-2011 回答日時： 2011/11/21 10:54

時空図に，トロッコの両端の世界線と，ある時に光源から出る光の世界線を描き，事象Ａ，Ｂを記入して考えてください．

事象の間隔が慣性系によらないことは使ってよいのでしょうね．

結果はγLで正解だと思います．

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/11/21 10:32

条件が曖昧ですが

ローレンツ変換を使わない⇒ガリレイ変換を使う⇒トロッコはローレンツ短縮しない

ということなら、

A の端まで到達する時間は (L/2)/(c+v) B の端まで到達する時間は (L/2)/(c-v)
この差に v をかけただけ距離が延びるので

L' = L + ((L/2)/(c-v) - (L/2)/(c+v))v = L + L(v^2/(c^2-v^2))
=L(c^2/(c^2-v^2)) = L/(1-(v/c)^2) = Lγ^2 (γ = 1/√(1-(v/c)^2))