数学へのアプローチについて

Question

只今、自学で数学を学んでいる者です。正直当方にとって数学は大の苦手です。理科は好きなのですが……

数学の教科書を見るのすら嫌だったのですが、とにかく始めは解らなくても、ひたすら繰り返す事で何とか数学との関わり方を見出だしております。(恐らく)

この過程で、一つ漠然と感じた事ですが、数学には理科における「実験」と呼ばれるような考え方は無いのでしょうか。私的には、証明がこの「実験」によく似ている気がするのです。 例えば、化学の理論分野などは、たとえどれだけ知識を詰め込んでも机上の空論に過ぎないと思ってしまうのです。「化学反応の前後で原子の総量は変化しない」なんていう理論は、暗記してしまえば、反応式を組み立てるのにもそれほど難しい問題では無いでしょうが、実際これが現実に具現化できるかは、やはり実験なしでは成し得ないことだと思うのです。
一方の数学、私は脳細胞も減少気味の今日この頃ですので、一時は重要な公式も覚えたと思った一週間後には忘れてしまいます。しかし、数学特有の筋道をきちんと把握すれば、公式も自分で導けるようになりますし、暗記もしやすくなると思うのです。

この過程を実験と見るならば、数学においては試行ほど大切なものはないと感じます。と、長々と並べ立てましたが、数学の得意な方に質問です。特に得意な方は、あまり細かい事は考えなくても、どんどん次のステップへ進めるつわものな方々とは思いますが、数学へのアプローチで、ここは大事だよ、というようなご持論をお持ちでしたら、アドバイス下さい。

alice_44 · Accepted Answer

「実験」で、上手く反例が見つかる場合は良いのですが…

私は、猜疑心が強いので、実験の結果が予想どおりでも、
まだ「ホントか？この例だけ偶然じゃないのか？」という
不安が拭いきれません。(病的でしょうか)

その点、証明がしてあれば、誰にとっても安心です。
その証明が、自分には理解できないものであったとしても、
多くの数学者が納得しているものであれば、
信じる気になります。(権威主義でしょうか)

student_of_kit · Answer

「数学を生み出す魔法のるつぼ」がオライリーから出版されています。
コンピュータを使った実験により数学の定理を生み出したり、証明したりするという
最新の数学です。基本敵にwxMaximaとR、それにgnuplotというフリーソフト程度があれば
簡単な実験はできるように書かれています。

とりあえず「数学を生み出す魔法のるつぼ」の立ち読み程度で様子はつかめると思います。

banakona · Answer

アプローチでも何でもありませんが、私は高校の頃、数学の「実験」をよくやっていました。

私は猜疑心の強い人間で、数学的にきっちり示されても「本当か？」と疑います。
その最たるものが積分でした。例えば

∫0→1(x^2)ｄｘ＝１／３

ですが、どうも疑わしい。放物線と２本の直線で囲まれた部分の面積が有理数になるなんて。
これが０．２８５７・・・とかだったら「そうかもしれない」と思うけど、０．３３３３・・・なんて簡単すぎる。

∫(x^2)ｄｘ＝ｘ^3／３＋Ｃ

を数学的に証明されても、疑いが晴れない。

そこで「実験」として、数値積分で、確かに１／３になることを確認していました。
当時は、まだパソコンがバカ高かったので、プログラム機能付きの関数電卓を使いました。台形公式のプログラムを組んで、分割数を多くすると、１／３に近づいていくことを観察していました。

∫１／(x^2＋１)ｄｘ＝arctanｘ＋Ｃ

も興味を引かれ、０から１まで積分するとπ／４に近い値が得られるのを面白がっていました。
今ならプログラムしなくても、エクセルでちょいちょいと計算できるでしょう。

確率の問題をモンテカルロ法で確かめたこともありました。

数値計算は誤差が気になりますが、理論値に近い値を得られるだけでも猜疑心を晴らすには十分でした。また、なぜか数学に対する興味や自信が高まりました。

ところで「コマ大数学科」という番組を見たことがありますか？　この番組では、ダンカン率いるコマ大チームが、毎回「数学の実験」をしています。中には完全なおふざけもありますが、中々おもしろい。

数学へのアプローチについて

「実験」で、上手く反例が見つかる場合は良いのですが…

「数学を生み出す魔法のるつぼ」がオライリーから出版されています。

アプローチでも何でもありませんが、私は高校の頃、数学の「実験」をよくやっていました。

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