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教えてください。

斜面(傾角θ)を、その最大傾斜線に沿ってすべらずに転落する一様な球の、重心の加速度を求めよ。
よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (3件)

>重心の運動と重心周りの回転運動でのエネルギーの比率は5:2になります。


この比率で位置エネルギーが配分されます。
斜面に沿っての加速度は(5/7)gになっていると考えられます。


前半はいいのですが後半の「(5/7)g」のところは「(5/7)gsinθ」です。
これは#2のご回答に書かれていますので間違いに気がつかれていると思います。

前半の5:2のところも#2のご回答に書かれています。

x・Mgsinθ = (2/5)MR^2・(1/2)ω^2 + (1/2)Mv^2 = (7/10)Mv^2
x・Mgsinθ = (7/10)Mv^2
(1/2)Mv^2=x・M(5g/7)sinθ

まさつが無い時の運動エネルギーと位置エネルギーの関係は
(1/2)Mv^2=x・Mgsinθ
ですからgsinθが(5g/7)sinθに変わっています。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2012/01/10 20:33

球の慣性モーメントは (2/5)MR^2


移動距離を x、その時間微分(速度)を v とすると 回転速度 ω=v/R

力学的エネルギー保存則から

x・sinθ・MG = (2/5)MR^2・(1/2)ω^2 + (1/2)Mv^2 = (7/10)Mv^2

両端を時間で微分して整理すると

a=(5/7)sinθ・g

つまりつるつるの場合に比べ4割重くなったような動きですね。
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>すべらずに転落する一様な球



これは「すべらずに転がる」という意味ですね。
球が1回転すると斜面に沿って球の円周分だけ移動しています。

エネルギー保存で解くことができます。
回転にエネルギーを使いますから摩擦のない斜面を滑り落ちる場合よりも遅くなります。
重心の運動と重心周りの回転運動でのエネルギーの比率は5:2になります。
この比率で位置エネルギーが配分されます。
斜面に沿っての加速度は(5/7)gになっていると考えられます。

回転のエネルギーの表現には球の慣性モーメントの値が必要です。
滑らずに転がるということから回転の角速度の大きさと重心の速さの間の関係も出てきます。

摩擦のない斜面は実現できませんので摩擦のない斜面を滑り落ちるという前提で斜面の運動を考えると必ずずれが生じます。滑らずに転がるというのは摩擦があることによって実現する運動です。摩擦のある斜面を滑るとエネルギーのロスが生じますが滑らずに転がる場合は摩擦によるエネルギーのロスはありません。まさつががあることによってエネルギーロスのない運動を実現できるというのが面白いところです。
ボール紙でスロープを作ってビー玉をころがすような場合は斜面からの飛び出し速度がほぼ計算通りの値になります。7.2mmの高さから転がり始めて水平に飛び出す時の速さが1.0m/sです。机の上にこのスロープを置いて床に落ちる位置を測定してみて下さい。計算して求めた位置にビー玉を並べて置いておくとほぼ毎回衝突させることができます。

この回答への補足

>重心の運動と重心周りの回転運動でのエネルギーの比率は5:2になります。
この比率で位置エネルギーが配分されます。
斜面に沿っての加速度は(5/7)gになっていると考えられます。

なぜこうなるのかわからないので教えてくれませんか。

補足日時:2011/12/20 03:08
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