
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
共通部分の立体がz軸対称の回転体になっていることからy=0の面で切断した切断面のx≧0領域D={(x,y,z)|y=0,x^2+z^2<=3,x^2+(z-1)^2<=1,x>=0}を
のz軸の回りの回転体の積分を求めれば良い。
x^2+z^2=3とx^2+(z-1)^2=1(x>0)の交点は
(x,z)=(√3/2,3/2)なので
体積V
=π{∫[0,√3]x^2 dz
=π{∫[0,3/2} (1-(z-1)^2)dz+∫[3/2,√3] (3-z^2)dz}
この積分なら出来るでしょう。途中計算はやってみて下さい。
計算結果は
V=2π(√3)-(9π/4)
となります。
次に表面積Sは回転体の表面積の公式を使って
0<=z<=3/2の時
x=√(1-(z-1)^2)
dx/dz=(1-z)/√(2z-z^2)
√(1+(dx/dz)^2)=1/√(2z-z^2)
3/2<=z<=√3の時
x=√(3-z^2)
dx/dz=-z/√(3-z^2)
√(1+(dx/dz)^2)=(√3)/√(3-z^2)
表面積S
=2π∫[0,√3]√(1+(dx/dz)^2)dz
=2π{∫[0,3/2} dz/√(2z-z^2) +∫[3/2,√3] (√3)dz/√(3-z^2)}
この積分の途中計算はやってみて下さい。
計算すると
表面積S=2π{(2π/3)+(π/(2√3))}=(4+√3)(π^2)/3
共通部分の立体の形状をプロットしたものを添付します。
No.2
- 回答日時:
>センター試験の問題ではないのでご安心ください!
確かに、センター試験だと出せない問題ですね^^
>という問題なのですが、球と円柱の共通部分の体積の場合と違って、両方の式にzが登場しているため、よくわからないです。
実は、球どうしの方が、むしろ簡単かもしれません。
こんな具合に考えます。
x^2 + y^2 +z^2 ≦ 3 は、中心(0,0,0)、半径・√3の球(表面とその内部)
x^2 + y^2 + (z-1)^2 ≦ 1 は、中心(0,0,1)、半径・1の球(表面とその内部)
2つの中心(0,0,0),(0,0,1)を含む平面で切った断面は、
球を中心を含む面で切った断面は、常に円で、
√3 - 1 (半径の差) < 1 (中心間の距離) < √3 + 1 (半径の和) なので、
2点で交わる2円になり、共通部分は、
弓形(扇形から、二等辺三角形を除いた形)を2つくっつけた形。
これを、中心を結んだ直線の回りに1回転させると、
2つの球の共通部分が出てきます。
図を考えるだけなら、2つの中心を含む平面なら、何でもいいのですが、
計算には、座標が求めやすい方がいいので、xz平面か、yz平面で切った断面で
考えます。xz平面で切ることにすると、あとは、平面座標だけで考えればよくて、
中心(0,0)半径√3の円、中心(0,1)半径1の円を描いて、(座標はx,z)
2円の共通部分をz軸回りに回転させた立体の体積・表面積を求める。
球と円柱の共通部分の体積ができたのなら、これで大丈夫ですよね?
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