No.3ベストアンサー
- 回答日時:
sin z = i の解は
sin^-1w = -i(log(iw±√(1-w^2))
にw=iを代入して
z = sin^-1(i) = -i log(-1±√2)
に訂正して下さい。
No.2
- 回答日時:
tessさん、こんにちは。
z=(e^iw+e^-iw)/2の両辺にe^iwをかけると、e^iw z=(e^2iw + 1)/2
これをe^iwについての2次方程式と見て解くと、
e^iw = z±√(z^2-1)
よって
cos^-1z = -i(log(z±√(z^2-1))
が得られます。同様にsin^-1zを求めると、
sin^-1z = -i(log(iz±√(1-z^2))
となるので、sin z = i の解は
z = -i(log(1±√2))
ではないかと思います。
No.1
- 回答日時:
tessさん、こんにちわ。
sinz=sin(x+iy)=sinx・coshy+icosx・sinhy
という公式がありませんでしたっけ?
上式が正しいとして、sinz=iを解くと
sinx・coshy+icosx・sinhy=i
実部 sinx・coshy=0・・・(1)
虚部 cosx・sinhy=1・・・(2)
(1)より、sinx・(e^y+e^-y)/2=0
e^y+e^-y≠0より、sinx=0
∴x=nπ(n=0,±1,±2,…)
(ⅰ)n=2mのとき(m=0,±1,±2,…)、cosx=1のとき
(2)式は、e^y-e^-y=2
e^2y-2e^y-1=0
u=e^yとおくと、u^2-2u-1=0
u=1±√2
u>0より、u=1+√2
従って、 e^y=1+√2
∴y=ln(1+√2) ※lnは底がeの対数
(ⅱ)n=2m+1のとき(m=0,±1,±2,…)、cosx=-1のとき
(2)式は、e^y-e^-y=-2
e^2y+2e^y-1=0
v=e^yとおくと、v^2+2v-1=0
v=-1±√2
v>0より v=-1+√2
∴y=ln(-1+√2)
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