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sinz=iを解けという問題で、
(e^iz+e^-iz)/2
={e^-y(icosx-sinx)-e^y(icosx+sinx)}/-2
として解こうとしましたが、まとめかたがわかりません。
このさきどうやるのでしょうか?

それから
cos^-1z=1/i(log(z+√(z^2-1))
の示し方がわかりません。
w=cos^-1zとおいてz=cosw=(e^iw+e^-iw)/2
とおくところまではわかりますが、
このさきわかりません。
おねがいします。

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A 回答 (3件)

sin z = i の解は


 sin^-1w = -i(log(iw±√(1-w^2))
にw=iを代入して
 z = sin^-1(i) = -i log(-1±√2)
に訂正して下さい。
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tessさん、こんにちは。

z=(e^iw+e^-iw)/2の両辺にe^iwをかけると、
 e^iw z=(e^2iw + 1)/2
これをe^iwについての2次方程式と見て解くと、
 e^iw = z±√(z^2-1)
よって
 cos^-1z = -i(log(z±√(z^2-1))
が得られます。同様にsin^-1zを求めると、
 sin^-1z = -i(log(iz±√(1-z^2))
となるので、sin z = i の解は
 z = -i(log(1±√2))
ではないかと思います。
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tessさん、こんにちわ。



sinz=sin(x+iy)=sinx・coshy+icosx・sinhy
という公式がありませんでしたっけ?
上式が正しいとして、sinz=iを解くと
sinx・coshy+icosx・sinhy=i
 実部 sinx・coshy=0・・・(1)
 虚部 cosx・sinhy=1・・・(2)
(1)より、sinx・(e^y+e^-y)/2=0
e^y+e^-y≠0より、sinx=0
 ∴x=nπ(n=0,±1,±2,…)
(ⅰ)n=2mのとき(m=0,±1,±2,…)、cosx=1のとき
 (2)式は、e^y-e^-y=2
      e^2y-2e^y-1=0
  u=e^yとおくと、u^2-2u-1=0
      u=1±√2
  u>0より、u=1+√2
  従って、 e^y=1+√2
    ∴y=ln(1+√2)  ※lnは底がeの対数
(ⅱ)n=2m+1のとき(m=0,±1,±2,…)、cosx=-1のとき
 (2)式は、e^y-e^-y=-2
      e^2y+2e^y-1=0
  v=e^yとおくと、v^2+2v-1=0
      v=-1±√2
 v>0より v=-1+√2
∴y=ln(-1+√2)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
いまからもう一度解いてみます。

お礼日時:2003/12/11 10:50

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Q複素関数の問題

次の問題の解き方あっているでしょうか?
「cosz=2を満たす複素数zを求めよ」

cosz=(e^(iz)+e^(-iz))/2なので、
(e^(iz)+e^(-iz))/2=2
e^(iz)+e^(-iz)=4となるから、両辺にe^(iz)を掛けて
e^(2iz)-4e^(iz)+1=0
これは、e^(iz)の二次方程式なので、解の方程式より

e^(iz)=2±√3

ここで、z=x+iyと置き換えると、
e^(-y)e^(ix)=(2±√3)(e^i(2nπ))となり
y=-log(2±√3)
x=2nπ
よって、z=2nπ-log(2±√3)となる。

Aベストアンサー

あってますけど
最後に虚数単位が落ちてますよ.

e^(iz)=2±√3
この段階で対数をとって
iz = log(2±√3)+2nπi
z= 2nπ-ilog(2±√3)
のほうが多少短いくらいでしょうか.

Qlog(-1)=?

log1=0です。底はネイピア数とします。変形して、log1=log(-1)^2=2log(-1)=0
よって、log(-1)=0となっても良さそうです。
でも、オイラーの定理よりe^πi=cosπ+isinπ=-1より、log(-1)=πi+2πn
となります。最初の式のどこに問題があるのでしょうか?

Aベストアンサー

 底がeの対数log(x)は、指数関数e^xの逆関数として定義されています(eは1以外のどんな実数でもいいのですが、記号だけの問題ともいえるので、とりあえずeにしておきます)。

 まず、実数の範囲で考えてみます。

 y=e^xであるなら、x=log(y)なわけですが、log(-1)を考えるなら、-1=e^xとなるxは何かになります。実数で考えるなら、e^x>0ですから、解としてありません。

 さらに、1=e^xはx=0で成り立ちます。では、両辺を2乗してみます。1^2=e^(2x)、ここまではいいでしょう。

 1^2=(-1)^2から、(-1)^2=e^(2x)としても問題ありません。

 では、その両辺のルートを『単純に』取ってみましょう。-1=e^xが成り立つことになります。これを満たす実数xはないのでした。さらに、そもそもx=0だったのでした。

 これでは矛盾です。数学として成り立ちません。ならば、導出に問題があるはずです。

 実数を2乗してルートを取ったとき、正負の両方が許される保証はあったでしょうか。ない例はすぐに思いつきます。

 1=1, (-1)^2=1 ∴(-1)^2=1, しかし√{(-1)^2}=-1でもよいとすると、1=-1となり矛盾するから、√{(-1)^2}≠-1でなければならない。

 ルート内に負数を許すのではなく、√(-1)のようなものを数として扱えるために、それをiと書いて虚数を実数bを使ってbiとすることにし(b>0なら√(-b)のようなものを扱うための虚数)、実数aと併せて複素数をa+biとしたのでした。

 お示しの式変形の中では「log(-1)^2=2log(-1)」が、そう拡張していいかどうかを検討せずに使っています。2乗してルートを取ったときと、同様であるわけですね。

 そこが間違いで、そうするためには、対数関数(ひいては指数関数)の計算規則を正しく拡張しておかなければならなかったわけです(その正しい結果の一つが、言及されておられるオイラーの定理)。

 底がeの対数log(x)は、指数関数e^xの逆関数として定義されています(eは1以外のどんな実数でもいいのですが、記号だけの問題ともいえるので、とりあえずeにしておきます)。

 まず、実数の範囲で考えてみます。

 y=e^xであるなら、x=log(y)なわけですが、log(-1)を考えるなら、-1=e^xとなるxは何かになります。実数で考えるなら、e^x>0ですから、解としてありません。

 さらに、1=e^xはx=0で成り立ちます。では、両辺を2乗してみます。1^2=e^(2x)、ここまではいいでしょう。

 1^2=(-1)^2から、(-1)^2=e^...続きを読む


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