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sinZ=i (iは虚数単位)の時のzの求め方教えてください

A 回答 (4件)

sinZ=i


e^(iZ)=cosZ+isinZ
e^(-iZ)=cosZ-isinZ
e^(-iZ)-e^(iZ)=-2isinZ=2
e^(-iZ)-e^(iZ)=2

{e^(-iZ)-e^(iZ)}^2=4
e^(-2iZ)+e^(2iZ)-2=4
e^(-2iZ)+e^(2iZ)+2=8
{e^(-iZ)+e^(iZ)}^2=8
e^(-iZ)+e^(iZ)=±2√2

e^(-iZ)=1±√2
e^(iZ)=-1±√2
Z=x+iy
とすると
e^(iZ)=e^{i(x+iy)}=e^(ix-y)=e^(-y)(cosx+isinx)=-1±√2

e^(-y)(cosx+isinx)=-1+√2の時
x=2nπ
e^(-y)=-1+√2
e^y=1/(-1+√2)=1+√2
y=log(1+√2)

Z=2nπ+ilog(1+√2)

e^(-y)(cosx+isinx)=-1-√2の時
x=(2n+1)π
e^(-y)=1+√2
e^y=1/(1+√2)=-1+√2
y=log(-1+√2)

Z=(2n+1)π+ilog(-1+√2)

nを任意の整数とする

Z=2nπ+ilog(1+√2)
Z=(2n+1)π+ilog(-1+√2)
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No.2 の方が答(の一つ?)ですが,僕のようなボンクラはオイラーの公式を使うんです。



sin Z=(exp(iZ)-exp(-iZ))/(2i) = i

ですから,exp(iZ)-exp(-iZ)=-2 で x=exp(iZ) とおけば

x^2 + 2x - 1 = 0

から -1±√2 が出てくるわけだ。あとはどうぞご自分で。
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sin(Z) = i



Z = arcsin(i)= i × log(1 + √2)
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sinZ=i (iは虚数単位)の時


Z=sin⁻¹i
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