定積分の問題(数学II)

いつもお世話になっております。次の問題についてアドバイス下さい。

問, 放物線y=x(x-1)と直線y=(［3］√(2)-1)x ※3乗根2です。で囲まれた図形の面積は、x軸で2等分されることを証明せい。

汚いですが、描いたグラフを添付しましたのでご覧下さい。図のx軸より、下側の部分の面積S2は、

S2=-∫［0→1］(x^2-x)dx=1/6。

放物線のx軸より上側且つ直線に囲まれた図形の面積S1は、
S1=∫［0→［3］√(2)］(［3］√(2)-x^2)dx=1/3。

始め、「x軸で2等分」だから、これを証明するには、S1=S2を示せば良いのだろうと見当をつけていたので、以上の筋道でS1、S2を求めたのですが、どうもS1≠S2となってしまいました。計算ミスなのか、「x軸で2等分される」は偽なのか、行き詰まってしまいました。お力を下さい。宜しくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/03/10 04:16

#1,#4です。

図を描き添付します。

各部の面積の積分の式をまとめておくと
　
直線と放物線で囲まれる領域の面積をS、
Sのうちx軸より下の方の領域の面積をS2、
Sのうちx軸より上の方の領域の面積をS1とすると

　S=S1+S2
　S=∫[0,2^(1/3)] {(2^(1/3) -1)x-(x^2-x)}dx
　 =∫[0,2^(1/3)] {(2^(1/3))x-x^2}dx =1/3
　S2=∫[0,1] {0-(x-x^2)}dx=∫[0,1] {(x^2)-x}dx=1/6
　S1=S-S2
　　=∫[0,2^(1/3)] {(2^(1/3))x-x^2}dx-∫[0,1]{(x^2)-x}dx
　　=(1/3)-(1/6)=1/6
または
　S1=∫[0,1]{(2^(1/3) -1)x-0}dx+∫[1,2^(1/3)]{(2^(1/3) -1)x-(x^2-x)}dx
　　=∫[0,1] (2^(1/3) -1)x dx+∫[1,2^(1/3)]{(2^(1/3))x-x^2}dx
　　={(1/2)(2^(1/3) -1}+{(2/3)+(1/2)2^(1/3)}=1/6

A#4の訂正
「積分区間を3つに分けて積分する」のは勘違いでした、上のように積分区間を２つに分けて積分すればいいです（訂正させていただきます）。

この回答へのお礼

ご丁寧な回答ありがとうございました。やはり基本的な面積の求め方の理解が足りないみたいです。参考にさせていただきつつ、練習します。

お礼日時：2012/03/10 19:35

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2012/03/09 23:55

#1です。

>放物線と直線に囲まれた図形をS、Sのうち、x軸より上側の部分をS1として、

>当方は、S1の面積の求め方をinfo22様の示されたSの求め方と混同してしまったようです。
質問者さんのお書きの式はS1を表していませんし、僕の書いたSの式とも異なっています。

>S1だけを求める方法がお分かりならば、教えて下さると嬉しいです。
一番簡単な求め方はA#1に書いた方法です。

A#1に書いたSの面積「1/3」を求めておいて

>Sの面積でx軸より上にある面積S1は
>S1=S-S2=(1/3)-(1/6)=1/6

で計算する方法です。

>S1だけを求める方法は別にあるということでしょうか。

直接S1を積分で求める方法は、積分を３つの区間に分けて表さないと表現できないので、一番計算が面倒になる方法になり余り賢明な求め方とは言えません。なのでA#1で回答したやり方がスマートなやり方です。
どうしてもS1を３区間に分割して積分する式を知りたいなら改めて補足に質問して下さい。
表しても結局はその方法は賢明でないと分かるだけですけどね。

>ご回答の内容ですと、私のS1の置き方に問題があったように思えます。
その通りです。

>私がS1と置いた式と、info22様が置かれたSの式が同じだからです。
よく見てください。xが抜けていますし、S1を表す積分の式とは全く違っています。
一見式は似ていますが、内容的には何処の面積を求めているか分からない
全く不可解な積分の式になってますよ。

なお、#2の方のやり方は僕のSの積分の上限の2^(1/3)(２の３乗根）をaとおいただけで
僕の回答と全くかぶっていますね。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。xが抜けてたのは、タイプミスでした。すいません。自分のノートでの計算のS1の定積分と、info22様のSの定積分はやはり一致してました。
多分ですが、私のS1の求め方とSの求め方の区別ができていないようです。

取り敢えずS1を単独で求める方法は保留にしておきます。
まず、きちんと場合に応じた面積の求め方を把握しようと思います。

丁寧な御指摘ありがとうございました。

お礼日時：2012/03/10 00:17

No.3 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/03/09 22:25

お礼、ありがとうございました。

分かりにくかったようで済みません。
別に賢い解法ではなく、ただ三乗根を書くのが面倒なのでaとしただけです。
あとは、二次曲線と直線の交点を求めて、はじめの積分は直線マイナス
二次曲線を交点から交点までxで積分したもので、後の積分は二次曲線の
x軸の下側をマイナス符号をつけてxで積分しただけです。ご参考までに。

この回答へのお礼

当方愚直なので、ありのままで解いてやろうとしか頭が働かないのです。だから、yyssaa様のように、うまく工夫して計算を面倒にしないように出来るのが羨ましいです。
センスを感じます。

お礼日時：2012/03/09 22:33

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/03/09 21:33

2の三乗根を仮にaとする。

(0,0)以外の交点は(a,a^2-a)
∫{0→a}(ax-x^2)dx=［ax^2/2-x^3/3］{0→a}
=a^3/2-a^3/3=a^3/6=2/6=1/3
∫{0→1}(-x^2+x)dx=［-x^3/3+x^2/2］{0→1}
=-1/3+1/2=1/6
よってX軸で２等分される。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。その賢さ満点の解法を少し研究させて下さい。

お礼日時：2012/03/09 21:44

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/03/09 21:28

>S2=-∫［0→1］(x^2-x)dx=1/6。

これは合っています。

>放物線のx軸より上側且つ直線に囲まれた図形の面積S1は、
>S1=∫［0→［3］√(2)］(［3］√(2)-x^2)dx=1/3。
これはおかしいです。

放物線と直線に囲まれた図形の面積S
S=∫[0→2^(1/3)］{(2^(1/3)-1)x-(x^2-x)}dx
=∫[0→2^(1/3)］{(2^(1/3))x-x^2}dx
=1/3
Sの面積でx軸より上にある面積S1は
S1=S-S2=(1/3)-(1/6)=1/6

∴S1=S2=S/2
（証明終り）

この回答への補足

お礼での質問が説明不足だったかも知れません。

放物線と直線に囲まれた図形をS、Sのうち、x軸より上側の部分をS1として、

当方は、S1の面積の求め方をinfo22様の示されたSの求め方と混同してしまったようです。まだ把握しきれていないせいもありますが、S1だけを求める方法がお分かりならば、教えて下さると嬉しいです。

補足日時：2012/03/09 22:22

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。また、いつも丁寧な御指摘を下さりありがとうございます。
ご回答の内容ですと、私のS1の置き方に問題があったように思えます。私がS1と置いた式と、info22様が置かれたSの式が同じだからです。

となると、S1だけを求める方法は別にあるということでしょうか。

お礼日時：2012/03/09 21:42