数学の講師仲間である議論,分母0の反例

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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x＞yならばx/y＞1　が偽であることを示せ
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これを示すのに、
反例：x=1、y=0

というのを正解とするのか、不正解とするのか、、議論になりました。

ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない、といいます。
ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、といいます。

どうなのでしょうか。

No.1 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2012/04/20 01:43

「x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない」

の意見に賛成です。

a>bは、暗黙のうちに、a、bが実数であることを前提としています。x=1、y=0ならx/yは実数ではなく、この時、x/yは二項関係「>」の定義域にないからです。
そもそも不等号で比較できないものを反例としてあげるのはいかがなものでしょうか。

もっとも、数学ではなく純粋に論理の問題として考えとき
「x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい」
という主張は、間違いでないのかもしれませんが。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞数学ではなく純粋に論理の問題として考えとき

すみませんが、上のことがよくわからないです。数学の問題と論理の問題に違いはあるのでしょうか。

お礼日時：2012/04/20 02:40

No.2 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/04/20 02:16

元代数学の非常勤です。

　（群論、ゲーム理論など）

どうなるんだろう？

解析の考え方を入れれば、成立しているとも取れるかもしれない？

　＃Ｌｉｍで０に近づけるって奴ね。
　＃もちろん専門外だから、間違っているかもしれないけど。

普通に考えると、ｘ，ｙ　∈実数　と見ているんだとおもうけど、

最終的に　（１／０）　これを認めるのか？

って判断になるんだろうから、高校のレベルでは、

　＃もちろん、σ(・・*)たちも　代数屋はね。

ｙ＝０　はダメだとおもう。


＞　x＞yならばx/y＞1　が偽であることを示せ

こういう問題自体に欠陥があるように思えてしょうがない。

０で割っていいか？　というところの定義も何もないから、

数学の中で行けば、成立しない反例だとおもうけど。


そもそも、反例を立てて証明を崩すような、やり方はしないとおもうよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

この回答へのお礼

ありがとうございます。

limの極限は無関係と思います。

本来は次のようなことがきっかけです。

テスト問題。
x＞yならばx/y＞1　の真偽を調べよ。
生徒は、それが偽であることを示すのに、
反例：x=1、y=-1と書いた答案は当然正解だが、
反例：x=1、y=0と書いた答案があった。
先生は正解と採点すべきか、不正解と採点すべきか悩んで、議論になった。

お礼日時：2012/04/20 02:37

No.3 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/04/20 03:42

ほー、なるほど。

試験問題。Ｎｏ．２です。
　
σ(・・*)だったら、反例を挙げて確かめることよりも、対偶を取らせるかな？

命題　￢（ｘ／ｙ＜１）　ならば　￢（ｘ＜ｙ）　について　

この命題が偽であることを考える。


命題について　￢（ｘ／ｙ＜１）　⇔　（ｘ／ｙ　≧　１）

おなじく、　￢　（ｘ＜ｙ）　⇔　（ｘ≧ｙ）　

したがって　命題は　以下のように改めることができる。

（ｘ／ｙ≧１）　ならば　（ｘ≧ｙ）


さらに、（ｘ／ｙ≧１）　⇔「同値ね」　（ｘ≧ｙ）　｛ｙ＞０　のとき｝

また、　（ｘ／ｙ≧１）　⇔　（ｘ≦ｙ）　｛ｙ＜０　のとき｝

よって、この命題は　ｙ＜０　のとき　真ではない（偽である）　ので、

対偶の定義により、問題にある命題は偽。

こう持っていくんじゃないかな？


やはり、　ｙ＝０　は、０で割っているとともに、

不等式で、０を掛けてしまうから、まずいとおもう。


対偶取らなくても、分かるかもしれないけど、とった方がよりわかりやすいかな？

これはでも好みかもしれない？


安易に数を放り込んでいくよりは、この方がいいのかな～～？

実数なのか、虚数なのか、整数なのか、自然数なのか？全く書いていないから、

簡単に数放り込ませるのはどうかとおもう。


σ(・・*)が出しているんなら、ｘ、ｙ∈　実数　ってやっていなければ、

全員に○あげるかな。　問題にちゃんと書いていれば、対偶をとってなければ

部分点だろうし、ｙ＝０の時点で　×　だろうね。

　＃σ(・・*)がこういう問題を使うとすれば、ブール代数だけかな？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
B-jugglerさんは、

￢（ｘ／ｙ＜１）　⇔　（ｘ／ｙ　≧　１）

と書かれましたが、

￢（ｘ／ｙ＜１）　⇔　ｙ＝０　または　（ｘ／ｙ　≧　１）

と僕は思います。

どちらが正しいのでしょうか？

お礼日時：2012/04/20 10:47

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2012/04/20 04:12

　　　∀x∀p(x∈R → p≠x/0)

であることについては異論がないものとするならば、

P:「x＞yならば(p=x/y かつ p＞1)となるpが存在する」が偽であることを示せ

という問題であれば、双方の意見はおそらく「反例として良い」で一致するでしょう。

　さて、実数の順序対の集合R×Rについて、"＞"はその部分集合
　　＞⊂{<a,b> | a∈R ∧ b∈R}
であって、"p＞q"というのは勝手な順序対 <p,q> について
　　<p,q> ∈ ＞
であることの略記だ。という風に捉えれば、
　　x/y＞1
とは、うるさく言えば「もしx/yが存在するならそれ(p)」と1との順序対<p,1>について
　　<p,1>∈＞
だ、ということでなくてはならず、だから
　　∃p(p=x/y ∧ p＞1)
という意味でしょう。（p∈Rという限定は付けない。）

　ちょっと別の言い方をしてみると、x/0は実数でないどころか、数学基礎論で言う「対象」（って、ZF公理系で定義される集合ですが）ですらない。（∵もしそれが対象なら、∃p(p=x/0)であり、されば集合pの性質は何か？）そして、aかbが対象でないのなら順序対{a, {a,b}}も対象ではない。さて、∃pQ(p)　とはQ(p)を満たす対象pがある、と言っているのであって、対象外はハジいている。これを付けることで、述語Q(p)の中で対象かどうか怪しいものpを扱っても事故にならずに済む仕掛けになっている。

　なので、最初に書いた命題 P
　　∀x∀y((x∈R ∧ y∈R ∧ x＞y)→∃p(p=x/y ∧ p＞1))
はご質問のstatementと同じじゃないかな。

　以上から、「反例として良い」に一票。

この回答へのお礼

ありがとうございます。ありがとうございます。

実は、僕の意見も、stomachmanさんと同じで、
x＞yならばx/y＞1
が偽であることの反例x=1,y=0、と書いた答案は正解
なのです。

x/y＞1
⇔xy＞y^2 かつ y≠0 (なぜなら、記述の約束である分母y≠0のもとで、両辺にy^2>0をかける)
⇔y(x-y)＞0 (なぜなら、この不等式から自動的にy≠0がでるので、y≠0はかかない)

そして、
{(x,y)∈R^2|x＞y} ⊂ {(x,y)∈R^2|y(x-y)＞0}
は偽であるが、左辺に含まれて、右辺に含まれない要素のひとつ(x,y)=(1,0)は反例。

と考えるのです。もちろん生徒が理解できているか理解できていないかは無関係で、反例x=1,y=0、と書いた答案は正解にすべきと。

しかし、ここの掲示板を見ても分かるように、ネットでもご意見が分かれるのです。
優秀な方々が、それぞれまぎゃくのことをおっしゃるのです。
問題設定が悪いというのではなく、試験問題としての問題設定も普通にありうるものと思います。


恐縮ながら、別問題を考えました。皆様から再度、ご返答いただければ幸いです。

x≠yならばx/y≠1

これは真ですか、偽ですか？
真であるという方はその証明を、
偽であるという方はその反例をどうか教えてください。

お礼日時：2012/04/20 10:35

No.5 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/04/20 05:43

Ｎｏ．２，３です。

ゴメン。

前のが少しまずい。　Ｎｏ．３の中で　ｘ　の大小がある。

ｘ≧０　と、ｘ＜０　で場合わけしておかなければいけない。

絶対値でやれば早いのかな？

それと、回答者同士で質問なんだけど、

Ｎｏ．４さん。

＞ｐ≠　ｘ／０　

とやってあるから、結果的に

ｙ≠０　とやってあることと、変わりないようにおもいますけど。

任意の　だったり　とある存在　（∀　や　∃）　の使い方は、

σ(・・*)好く分からないけど、こういう問題は、反証を見つけて

ハイ偽です。ってやるものなのだろうか？　というのが先に考えられるのかな？

と、おもうのですが。

σ(・・*)態度を明確にしていないね。基本的に反証を見つけて終わり、というのは

ちょっと違うとおもうんだけど、（ｘ，ｙ）＝（１，０）は、反証として

仮定も成立させることができないとおもいます。

　＃１／０＞１　を証明しないといけない。

　＃そもそも、０で割るのがいいのか悪いのか。σ(・・*)はダメだとします。

なので反証としても、当然ダメ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
B-jugglerさんは、Ｎｏ．３で、

￢（ｘ／ｙ＜１）　⇔　（ｘ／ｙ　≧　１）

と書かれましたが、

￢（ｘ／ｙ＜１）　⇔　ｙ＝０　または　（ｘ／ｙ　≧　１）

と僕は思います。

どちらが正しいのでしょうか？


恐縮ながら、別問題を考えました。皆様から再度、ご返答いただければ幸いです。

x≠yならばx/y≠1

これは真ですか、偽ですか？
真であるという方はその証明を、
偽であるという方はその反例をどうか教えてください。

お礼日時：2012/04/20 10:53

No.6 回答者： umamimi 回答日時： 2012/04/20 07:43

No.2補足欄

＞反例：x=1、y=0と書いた答案があった。
＞先生は正解と採点すべきか、不正解と採点すべきか悩んで、議論になった。

という事なら、
「0で割ってはいけない」「分母０の分数は有り得ない」と教えてると思いますので
これに反します。
従って
x/y 式に y=0 と代入する事自体が不適切→「偽である」との説明が不充分→不正解
とするべきだと思います。

＞ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、

数学で「x/y＞1　が偽」といえば、単に「x/y＞１じゃない」とは違うので、
これはちがうと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
umamimiさんが、
数学で「x/y＞1　が偽」といえば、単に「x/y＞１じゃない」とは違うので、
とおっしゃる部分がよく分からないので、次の同値関係のどちらが正しいか教えていただけないでしょか。


￢（ｘ／ｙ＜１）　⇔　（ｘ／ｙ　≧　１）


￢（ｘ／ｙ＜１）　⇔　ｙ＝０　または　（ｘ／ｙ　≧　１）

どちらが正しいのでしょうか？


恐縮ながら、別問題を考えました。皆様から再度、ご返答いただければ幸いです。

x≠yならばx/y≠1

これは真ですか、偽ですか？
真であるという方はその証明を、
偽であるという方はその反例をどうか教えてください。

お礼日時：2012/04/20 11:01

No.7 回答者： funoe 回答日時： 2012/04/20 10:05

専門家でもなんでもありませんが、「反例として成立している」に一票。

もうすこし単純化して、
命題：∀ｘ∈Ｒ（ｘ／ｘ＝１）　は、「偽」だと思うからです。これを「真」というのはムリ筋では？



言い換えただけで、説得力もなにもありませんね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

命題：∀ｘ∈Ｒ（ｘ／ｘ＝１）　は、真か偽か？

ｘ／ｘ＝１　
を満たす集合を考え、
｛ｘ∈Ｒ｜ｘ／ｘ＝１｝＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ≠０｝
なので、
命題：∀ｘ∈Ｒ（ｘ／ｘ＝１）　は、偽と思います。

ただ、

ｘ／ｘ＝１　は、真か偽か？

ということであれば、それは

命題：∀ｘ∈Ｒ－{０}（ｘ／ｘ＝１）　

を解釈できるので、真と思います。

お礼日時：2012/04/20 11:19

No.8 回答者： tmpname 回答日時： 2012/04/20 10:17

普通に考えれば「x/y>1」というのは

「x/yが定義できて、且つx/y>1を満たす」という事。

つまり、
「x>yなる全てのx,yについて、「x/y>1」という式は
真か偽か必ず評価できて、且つ真であること」
と解釈するのが当然であるから、y=0というのは当然
反例です。そもそも「x>yかつy≠0」と書いていなかった
問題が悪い。

例えば「x≧0なる全ての実数xに対して√(1-x^2) ≧0が成り立つ」
という命題があったら明らかに「おかしい」と回答するでしょう？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

実は、僕の意見も、tmpnameさんと同じで、
x＞yならばx/y＞1
が偽であることの反例x=1,y=0、と書いた答案は正解
なのです。

ただ、問題が悪いというご意見とは異なる意見を持っています。

(1)。x>yを満たす領域を図示せよ。
(2)。x/y>1を満たす領域を図示せよ。
(3)。(1)を満たす領域上の点で、(2)を満たさない領域上の点をひとつ述べよ。

をいう問題文は、高校数学において、まったく不備はないと思います。

しかし、もとの質問文において、ネットでもご意見が分かれるのです。
優秀な方々が、それぞれまぎゃくのことをおっしゃるのです。


恐縮ながら、別問題を考えました。皆様から再度、ご返答いただければ幸いです。

x≠yならばx/y≠1

これは真ですか、偽ですか？
真であるという方はその証明を、
偽であるという方はその反例をどうか教えてください。

お礼日時：2012/04/20 11:30

No.9 回答者： think2nd 回答日時： 2012/04/20 10:21

そもそもｆ："x＞yならばx/y＞1"　って、命題なのですか?

真か偽か分かる文章を命題と言いますから、　x=1、y=0はfが命題でないことを示している例に過ぎないんじゃないですか。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

テスト問題として。
x＞yならばx/y＞1　の真偽を調べよ。

なんら不備はないと思っています。

お礼日時：2012/04/20 11:34

No.10 回答者： tmpname 回答日時： 2012/04/20 10:27

>No.9さん

うん、だからこれは「x>yなる任意のx,yに対して、『x/y>1』という式は『必ず真か偽か評価できて』かつ正しい」と見るのが当然で、y=0はやはり反例です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2012/04/20 12:05