数学の講師仲間である議論,分母0の反例

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
-----------
x＞yならばx/y＞1　が偽であることを示せ
-----------
これを示すのに、
反例：x=1、y=0

というのを正解とするのか、不正解とするのか、、議論になりました。

ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない、といいます。
ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、といいます。

どうなのでしょうか。

No.34 回答者： stomachman 回答日時： 2012/04/23 05:20

ANo.31の一部とANo.33の一部について、訂正があります。

すいません。


　￢∃xP(x)のとき εxP(x) をどう扱うのか、考えてみればそういう使い方はまずしないわけで、だんだん心配になってきたんで古本をいくつか引きずり出して調べてみました。すると、問答無用で
　　εxP は対象
を公理として採用するようです。あちゃ。間違えてました。

(1) ANo.31のε記号の説明は間違い。正しくは、￢∃xPの場合にもεxPは何らかの対象を指している（しかし、その対象はPを満たさない）と考えるんですね。

(2) ANo.31の末尾も間違い。εxPは常に何らかの対象ではあるから
　　∀p(p≠εx( x0=1))

はどんなxについても偽であり、だからこの式は1/0が「対象外」であることを表していません。

(3) ANo.33の、式が命題になるかどうか、という話の所も勘違いです。
　￢∃xP(x)の場合にもεxP(x)は対象には違いないので、論理式
　　Q(εxP(x))
はいつでも命題になっています。ただし、￢∃xP(x)の場合にはどんなデタラメな対象がQ(x)のxに入るかは分からず、なので、式全体は真偽値を持つものの、それが真なのか偽なのか決めようがない、ということになります。

No.33 回答者： stomachman 回答日時： 2012/04/23 04:41

　ANo.32の

> 一番優秀なのは、0 の扱いが杜撰な出題を

> 笑いながら、無難に y＜0 の答えを書ける生徒

> なのだから。

には、完全同意です。ですが、答案に加えて「ところで、x=1、y=0は反例になりますか？」という余計なコメントを付けて出題者をからかわずには居られない生徒が好きだな。


　さて、ANo.4のコメントについて。

> x/y＞1
> ⇔xy＞y^2 かつ y≠0 (なぜなら、記述の約束である分母y≠0のもとで、両辺にy^2>0をかける)

「1/0」は文法的には正しい、という話をANo.31に書きました。意味上の約束ならともかく、「記述の約束」なんてものはないだろう、という考えです。


> ⇔y(x-y)＞0 (なぜなら、この不等式から自動的にy≠0がでるので、y≠0はかかない)


　ここがよく分からんです。もしかして、x/y＞1が真であるということを前提にして議論なさっているんでしょうか。もしそうではなくてy(x-y)＞0が真でも偽でもありうる、ということなら、y=0でも左辺は計算できて、
　　0＞0
になるだけですが。

> それぞれまぎゃくのことをおっしゃるのです。

　「講師仲間の議論」に一緒に参加している気分で、楽しいですねえ。「まぎゃくのこと」が出て来る以上、問題に穴があるのだけは確かでしょう。しかし、ただの割り算がこんな難しい話になるとは思わなかったなあ。認識を改めました。

>　x≠yならばx/y≠1

> これは真ですか、偽ですか？

　問いを式
　　∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ εz(yz=x)≠1)
の形に書いた(syntax)は良いけれども、問題は商εz(yz=x)が「対象」ではないときのsemanticsですね。
　　Q(εpP(p))
はP(p,x)を満たすpがない時には（論理式ではあっても）何も意味しないから命題ではない。ここで、
　　Q(εpP(p))
を
　　∃pP(p) → ∀p(P(p) → Q(p))
と書き換えて扱えば、「この式は命題であるかどうか」という心配をしなくても良くなります。￢∃pP(p)の場合について余計なことは言っていないし、∃pP(p)の場合については漏れがなく、またP(p)を満たすpが唯一でない場合も適切に扱っている。そして、これは（式を展開してみれば分かる通り）
　　∀p(P(p) → Q(p))
と同値です。

　…というわけで、
　　εz(yz=x)≠1
を
　　∀z(yz=x → z≠1)
と書けば、問いは
　　∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ ∀z(yz=x → z≠1))
である。これが真かどうかという話なら、疑義は出ないでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞
> ⇔y(x-y)＞0 (なぜなら、この不等式から自動的にy≠0がでるので、y≠0はかかない)

＞　ここがよく分からんです。もしかして、x/y＞1が真であるということを前提にして議論なさっているんでしょうか。もしそうではなくてy(x-y)＞0が真でも偽でもありうる、ということなら、y=0でも左辺は計算できて、
　　0＞0
になるだけですが。

僕は、 x/y＞1という不等式を解きなさい、領域を描きなさいという問題を想定して、同値変形しています。
（x/y＞1）⇔（xy＞y^2 かつ y≠0）⇔（y(x-y)＞0）
そして、質問文の命題は、
∀x∈R、∀y∈R｛（x＞y）⇒（x/y＞1）｝⇔∀x∈R、∀y∈R｛（x＞y）⇒（y(x-y)＞0）｝⇔「偽」


x≠yならばx/y≠1
は真か偽か？
とあったら、僕は、
∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（y≠0かつx≠y）｝⇔「偽」
と考えるのですが、人によっては対偶を考えて、
∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔∀x∈R、∀y∈R｛（x/y＝1）⇒（x=y）｝⇔「真」
と考えるようなのです。

高校数学で方程式や不等式を解け、と書いてあれば、通常は文字の範囲は実数で分母≠0や根号内0以上や真数正は約束と教えるのですが、命題においてその約束がどのように適用されるのかは明確でなく、解釈の違いが生じるようです。

お礼日時：2012/04/24 00:43

No.32 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/23 00:55

分母≠0 の取り扱いについては、決して

「暗黙の了解」にすべきではない。
前に、x,y の範囲次第だと書いたはずだけど、
y≠0 を含まない範囲を、それと明示せず考えてた
というのでは、論理もクソもない、ただの
テレパシー競技になってしまうから。
数学の話だったのでしょう？

変域を好きに設定して命題を改変してよいのなら、
こんな解釈もある。
x,y の範囲として、実数なり複素数なりを
一点コンバクト化したものを考えれば、
1/0 は ∞ という一個の数として存在するけれど、
その舞台では ∞＞1 は成立しない。
…やりだしたら、キリがないよ。

高校生が対象ということであれば、
「任意の実数について」の文言を省略してしまう
ことは、教科書すらやらかしているのだから、
しかたないと言えばしかたないが。


ところで、y=0 を反例に挙げた答案は、
普通に正解なのだから、普通に○とするにしても、
答案返却の際か用紙の欄外か何かで、
「そうトンガッてないで、大人になれよ」と
教えてあげることは必要だと思う。
一番優秀なのは、0 の扱いが杜撰な出題を
笑いながら、無難に y＜0 の答えを書ける生徒
なのだから。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

x≠yならばx/y≠1
は真か偽か？
とあったら、僕は、
∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（y≠0かつx/y≠1）｝⇔「偽」
と考えるのですが、人によっては対偶を考えて、
∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔∀x∈R、∀y∈R｛（x/y＝1）⇒（x=y）｝⇔「真」
と考えるようなのです。

高校数学で方程式や不等式を解け、と書いてあれば、通常は文字の範囲は実数で分母≠0や根号内0以上や真数正は約束と教えるのですが、命題においてその約束がどのように適用されるのかは明確でなく、解釈の違いが生じるようです。問題作成者側は、命題においては、文字の範囲を（明らかな場合以外は）あまり省くべきでないと反省。

お礼日時：2012/04/24 01:06

No.31 回答者： stomachman 回答日時： 2012/04/23 00:49

　質問者さんにとってはおそらくただの無駄話になると思いますが、しかし講師仲間での議論に際してもしかするとネタに使えるかも知れないと思い、蛇足を投稿します。

　ANo.11に書いたように、命題を定めれさえすれば、その命題の真理値については議論の余地はないだろう、
　　∀x(x∈R → ∀p(p≠x/0))
が論理式であり真であることに異論は出ないだろう。

と思っていたのだけれども、「x/0」と書く事自体駄目だという意見もあるようで、すると、上記の記号列は論理式として認めてもらえないことになります。

　記号列「))∈∩A∈」が駄目なのと比べてみればいいと思うんですが、記号列「x/0」に何もおかしなところは見つからない。つまり、「x/0」が駄目、というのは割り算の答を出す際の都合、いわばsemanticsの領域の話、「意味論的に駄目」という話であって、だから書いただけ（syntax）で駄目ということはなかろうと思います。（なので、両者を明示的に分けるためにpを導入したのでした。）
　ところで（「意味論的に駄目」とは違う話ですが）x≠x とか x＞x も「駄目」とおっしゃる方が沢山います。「（真理値が偽であることを表す）成立たない」と「（そういう文字列は文法的に駄目。式として）成立しない」とを混同している訳ですが、そう言い出す感覚は分からないでもない。これは要するに、異物感、見慣れないものへの嫌悪感でしょう。
　すると、「意味論的に駄目」という判断も、もしかするとただの「異物感」に過ぎないのではないか、という事を慎重に反省せねばならないように思います。
　
　さて、何かの問題に対して、

「任意の実数yについて、xy=1を満たすxを考える。(1)y=0のとき、そのような実数xはないから…。(2)y≠0のとき…」

という答案に比べて

「任意の実数yについて、x=1/yを考える。(1)y=0のとき、そのような実数xはないから…。(2)y≠0のとき…」

には×が付きやすそうだと思います。
　けれども、除算1/yが「xy=1 となるx」のこと、すなわち
　　1/y = εx( xy=1 )
である以上、もし「任意の実数yについて、xy=1を満たすxを考える」をそれだけでは×にしないのなら、「任意の実数yについて、x=1/yを考える」もそれだけでは×にできないでしょう。後者が×になるのは、ただ、未定義の1/0をあからさまに見せることへの嫌悪感、というレベルの話じゃないのか、と、そんな気がします。

　なお、ε記号に馴染みのない方も多いかと思います。εx( xy=1 )は、多くの場合
　　x such that (xy = 1)
と書かれます。もし ∃x(xy = 1)であればそのようなx（複数あっても、そのうちのどれかひとつ）を指し、もし￢∃x(xy = 1)であれば、どんな対象(集合)も指さない（ただの記号列）。だから、「1の0による除算が未定義」という事は、論理式で
　　∀p(p≠εx( x0=1))
と表せます。

No.30 回答者： momordica 回答日時： 2012/04/22 02:15

大変遅ればせながら、なんだかおもしろそうだったので、首を突っ込ませてもらってよろしいでしょうか。

問題の中で「 x＞y とあるから x, y は実数」だとか、「x/y とあるから y は0ではない」だとかいうのは、
本当に「暗黙の了解」なのでしょうか。

例えば今回の問題では確かに x, y は実数として考えて構わないわけですが、それは
「 x＞y と書いてあるから、＞ という関係自体が定義されない虚数のことは考えてはならない」
という「暗黙の了解」によるというより、単に x, y が実数である場合しか仮定 x＞y が満たされない
からであると思います。
今まで見たところ、みなさんこの命題を、
　∀x∈R, ∀y∈R, x＞y ⇒ x/y＞1
としていらっしゃいますし、それで全く問題ないと思いますが、別に
　∀x∈C, ∀y∈C, x＞y ⇒ x/y＞1
としても一向に構わないと思います。
x か y のいずれかが虚数なら、x と y の間に＞という関係は定義されないので、x＞y は偽となり、
x/y＞1 の真偽にかかわらず命題 x＞y ⇒ x/y＞1は真となります。
したがって結局、命題 ∀x∈C, ∀y∈C, x＞y ⇒ x/y＞1 の真理値は ∀x∈R, ∀y∈R とした時の
真理値と変わらないので、 ∀x∈R, ∀y∈R として構わないわけです。

ゆえに私としては、仮定にある x＞y という表記に基づき x, y を実数であると限定するのはよいと
思いますが、結論中にある x/y という表記により y≠0 とする必要は全くないと考えます。

逆にもし
　「　x/y＞1 ならば x＞y　」
のような命題の真偽を問う問題であれば、もちろん y≠0 として考えればよいと思いますが、
今度は x/y が実数でありさえすればよく、x, y そのものは実数である必要はないので、例えば
　x=2i, y=i　( i は虚数単位）
のようなものを反例として挙げても正解であると思います。
もっとも、こういう回答は余り高校のテストにはそぐわないと思うので、出題の時点で x, y は
実数であると明記しておく方がいいように思いますが。


しかしながら、私も

> 反例：x=1、y=0
> このとき、仮定において、1＞0は成り立つが、
> 結論において、1/0＞1 は成り立たないから。

という解答において、これが反例であるかということそのものではなく、最後の行の書き方を
問題視するというのは同意します。
　「x=1, y=0 のとき、実数 x/y は存在しないので結論 x/y＞1 は成り立たない」
とでも書いてあればよかったんでしょうけど。
ただ、これを反例として挙げた生徒については、x/yと1の大小以前にx/yの存在自体を問題に
すべきだと考えているということですから、模範回答通りyが負である反例を挙げた生徒より、
0で割ることの意味についてよく考えていると私は評価します。

この回答へのお礼

ありがとうございます。別の話題で、

x≠yならばx/y≠1
は真か偽か？
とあったら、僕は、
∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（y≠0かつx≠y）｝⇔「偽」
と考えるのですが、人によっては対偶を考えて、
∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔∀x∈R、∀y∈R｛（x/y＝1）⇒（x=y）｝⇔「真」
と考えるようなのです。
先生同士がまぎゃくの解釈をするのです。

高校数学で方程式や不等式を解け、と書いてあれば、通常は文字の範囲は実数で分母≠0や根号内0以上や真数正は約束と教えるのですが、命題においてその約束がどのように適用されるのかは明確でなく、解釈の違いが生じるようです。

お礼日時：2012/04/24 01:22

No.29 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/04/22 01:34

わけが分からなくなってきた。

引っ込みますね。

＞　x≠x⇒x≠x

これはトートロジーでしょうよ。

こんなのを上げて何が聞かれたいのか分からなくなってきました。


Ａ⇒Ｂ　で　Ｂの値が成立しない。Ａは成立していると。


Ｂの値は成立していないのですから、含意で　偽でしょう？

だから、Ａ　に該当する部分は成立させなきゃいけない。って書いてるじゃない。


今の問題は、　ｙ＝０　を取っていいのかどうかでしょう？

要するに　Ｂ　に該当する　（ｘ／ｙ）＞１　が　（１／０）＞１　なったときに

この数値（１／０）は認められるのか？　ってことでしょう？

このときに　Ａ　に該当するところは成立するんだよね。


（１／０）　は実数として認められるか？　あるいは　数値としてみていいのかって話でしょう？

通常認めないでしょう？　としたら、Ｂは　偽　だよね。

Ａは真、Ｂが偽　含意だから、全体命題は　偽　でいいんじゃないの？


σ(・・*)もたくさん間違えてるよ！


だけど、なんか全然違うところに話が行っちゃっている気がするんだけど。


ｘ≠ｘ　⇒　（ｘ／ｘ）　≠１

これは、　含意の　左が成立しないから真なんでしょう？

ｘ≠ｘ　に該当する　物がないんだから。　だったら、常に含意は真じゃない。


だから、ｘ＝０として、０で割っていい、って言うのは関係ないとおもうけど。


いっぱいσ(・・*)も間違ってるよ。うん。むちゃくちゃだね！

本線からは外れてないつもりだけどね・・・。


もう一回基本に戻ろうよ。


この問題は、どこまでの範囲で考えるかって話でしょう？

　＃実数だけなのか、０を含むのか、数全体なのか・・・。

　＃それがどの範囲で影響を及ぼすのか・・。

もちろんσ(・・*)も悪いけど、何でこうなったんだろう？

とりあえず分からず屋は引っ込みます。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
そもそも

（p⇒q）⇔｛（￢p）またはq｝

と考えます。

お礼日時：2012/04/24 01:13

No.28 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2012/04/21 18:34

>MagicianKumaさんは、「・・・という人もいるかもしれません」と他の解釈の可能性を認めています。

他の解釈が正しい可能性を認めたわけではなく、他の間違った解釈をする人もいるかも　という意味です。
提示された問題は、∀x∈R,∀y∈R,x>y ⇒ x/y>1　と理解するのが自然で、もちろん命題（偽の）です。
補っていい省略は、∀x∈R,∀y∈R　だけだと考えます。y≠0 を補って考える必要性があるとは全く思えません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

僕もMagicianKumaさんと同じ感覚でしたが、提示した問題を、
∀x∈R,∀y∈R-{0}(x>y ⇒ x/y>1)　
と解釈するのが自然とする人も確実にいるようです。
その人にとっては、x=1,y=0という反例はよくないということになります。
これは正しい間違い、自然不自然ではなく、感覚の違いと思うようになりました。

教科書を調べると、命題の分野では、丁寧すぎるくらいに文字の範囲を明示していました。
方程式の分野では、文字の範囲は省かれることが多く、同じ2次方程式でも数Iでは実数を範囲とし、数IIでは複素数を範囲としますが、それにおいては誤解はないと思います。

入試問題などでは、「x>y ⇒ x/y>1」という命題は、文字の範囲が明示されていないので、誤解が生じ、問題設定不明確として修正すべきだと思うようになりました。
特に、「x>y ⇒ x/y>1」の対偶を書かせるとしたら、解釈の違いが確実に生じる。

今回は、校内試験(文字の範囲は丁寧に記述していなくても許される)ということと、「x>y ⇒ x/y>1が偽であることを示すのに反例をかけ。」(反例は生徒が自由に決める)という問題文ということで、微妙な議論になってしまったと思います。

お礼日時：2012/04/22 16:59

No.27 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/04/21 17:49

たびたびすいません。

σ(・・*)、これ片付いたらしばらく休もう。

だんだん自信なくなってきたのと、丸投げしている子に

「試験で点が取れればいいのさ、分かるかな？」ってお礼してもらって

回答をしている自分が情けなくなってきた＾＾；

で、ちょっと確認させて。

Ｎｏ．２６さんへのお礼の中で、

＞x=1、y=0はx/y＞1に代入できず、真か偽か分からないので、
＞「命題でない」とおっしゃる方は

こういう風に書かれているんだけど、

命題ではないと、言ってあるんだろうか？

問題は命題として出されたんですよね？

成立しないから、偽の命題　でいいんだよね？


「真か偽か分からない」というのが分からない。

σ(・・*)かいてるけど、　Ａ⇒Ｂ　で　Ｂがどうやっても成立しない命題は

やはり偽でしょう？

トートロジーの逆だと考えればいいんじゃないかなぁ？

　＃常に偽な命題になってしまうのかな。


これはどうなるんだろう？　あっているのかな～？？


σ(・・*)最初は、「０で割る禁止」でほとんど自動的に除外していたけど、

　＃対偶も間違えたし＾＾；＞＜

０は禁止されてないから、「命題として成立しているけれど、ｙ＝０のときは常に偽」

となっているだけじゃないのかなぁ？？

　＃もちろん、常にって言うのは、ｘ（∈実数）＞０　だけど＾＾；

　＃ん？　これはなきゃいけない？　ダメだ混乱してる＞＜

　＃「含意」になるんだ。必要ですね。左は成立させなきゃいけない。


命題として成立しているのは、純粋に実数で　ｙ≠０で　ｘ＜０なら

（ｘ、ｙ）＝（１、－１）　で　偽として成立していますよね。


この考え方はダメなんだろうか？　

成立しない命題は　「偽」　でいいんじゃないの？


もちろん、どこまで　ｙ＝０　を効かせるのかというのは残るけど、

これは（この考え方で）いいんでしょう？　ちょっとこれだけ。

命題ではないとは言われてないとおもうから、これだけ確認ください。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

この回答へのお礼

根本的なことが違っています。

＞Ａ⇒Ｂ　で　Ｂがどうやっても成立しない命題は
＞やはり偽でしょう？

例えば、x≠x⇒x≠x　は真。

お礼日時：2012/04/21 22:43

No.26 回答者： think2nd 回答日時： 2012/04/21 15:21

投げかけられた質問が、妄想的に膨らんで、締め切られそうだから、蚊帳(カヤ)の外にいた、No9がまた口出しします。

この質問サイトをinf・・・,taco・・・さんたちが読まないことを祈っています。(ご両人とも苦笑いして、あきれているから(-_-))
数学はゲームに似ています。ゲームにはルールがあります。ルールを体得したとき初めて自由にゲームができます。
さて
質問者に質問します
(1)
・０はプラスですかマイナスですか。
・1/0はある値を持たないのはなぜですか(ルールですか)
・1/0はプラスですかマイナスですか。
(２)
　・X=1,y=0と書いた生徒をあなたはどのように説得しますか。(ほめますか。けなしますか。)

(3)私なら次のようにテストを作ります。
　・"x＞yならばx/y＞1"は命題ですか。命題でないときはその理由を述べよ。
　・x＞yならばx/y＞1が偽の命題であるならば反例を示せ。

　　どうでしょうか？

　命題であることが分かってから真か偽かの証明に入ります。これがルールです。
　真と証明されてしまうと定理になります。
　
　追伸　この程度の質問をこのサイトに載せるのは、講師の先生ならば危険です。
　　生徒に読まれると、先生の威信にも傷がつきます。
　　ですからこんなときは教科書(御校で使っている教科書会社　数研がお勧め(^_^))会社に質問すると
　　遅れますが、必ず文書で教育指導書にそった回答してくれます。その方法を使って質問して下さい。

　　He who can does.He who cannot teaches.(by　George Bernard Show)
　 いい警句ですね(^_^)

　　


　

この回答へのお礼

ありがとうございます。
No.9で、

＞そもそもｆ："x＞yならばx/y＞1"　って、命題なのですか?
＞真か偽か分かる文章を命題と言いますから、　x=1、y=0はfが命題でないことを示している例に過ぎないんじゃないですか。

と書かれていますが、今までの回答者の方々の中で、「問題設定がよくない」という方はいても、
x=1、y=0はx/y＞1に代入できず、真か偽か分からないので、「命題でない」とおっしゃる方は、think2ndさんだけだと思うのですが。

No.9のお返事で僕は、「(校内の)テスト問題として。x＞yならばx/y＞1　の真偽を調べよ。に不備はない。」と書きましたが、「全国模試で、x≠yならばx/y≠1の真偽を調べよ。」という問題を出すのであれば解釈が分かれるので、ダメだと思うようになりました。

＞・０はプラスですかマイナスですか。
どちらでもありません。定義です。

＞・1/0はある値を持たないのはなぜですか(ルールですか)
例えば、除法の定義以前に乗法においての逆元の定義があるのですが、0の逆元は存在しないからです。

＞・1/0はプラスですかマイナスですか。
どちらでもありません。そもそも1/0という表記自体だめです。

＞・X=1,y=0と書いた生徒をあなたはどのように説得しますか。(ほめますか。けなしますか。)
x＞yならばx/y＞1　反例：x=1、y=0なので偽と書いた生徒は、答案の段階では、○をつけるだけです。
生徒が目の前にいたら、分母0についての認識を確認し、おそらく生徒は深くは考えていないので、数学で分母0はだめと教えます。上の命題の場合は、論理の事情で○になったことだけを伝えます。詳しく生徒に伝えても混乱するだけなので。生徒が興味を持って質問してきたら別ですが。

＞・"x＞yならばx/y＞1"は命題ですか。命題でないときはその理由を述べよ。
＞・x＞yならばx/y＞1が偽の命題であるならば反例を示せ。

そもそも命題でないとおっしゃるのは、think2ndだけだと思うのですが。

お礼日時：2012/04/21 16:53

No.25 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/21 14:06

A No.21, No.22 などを見ると、やや自信がゆらいでしまうのだけれど…

それでもやはり、命題の真理値は「真」か「偽」であって、
「割ってはいけない」とか「いい書きかたがない」という真理値は存在しない
と思うのだがなあ。直観主義論者なら、何と言うのだろう？

自然言語の曖昧さについては、私も常々娘に「算数は国語だ」と言い続けてる。
しかし、今回の問題は、命題自体がほぼ形式的に書かれていて、
省略されがちな限量子だけ補って ∀x∈実数,∀y∈実数,x>y⇒x/y>1 と書けば、
実数論上の論理式で、誤解の余地は無さそうに感じる。

A No.8 への「お礼」に、面白いバリエーションが出ていたが、
複素正方行列 A について det(A) が実数ならば det(A^-1) も実数
なんてのは、どうだろう？　

この回答へのお礼

たびたびありがとうございます。

今回の件で、僕は真夜中にはひねくれたり、他の人の回答で自信がゆらぐのですが、
朝起きて改めて思いおこすと、alice_44さんのご意見に賛成です。

回答の後のほうでも、x=1,y=0は反例としてよいという意見が残ってきたように思います。

ただ、まだ不安が。

x＞yならばx/y＞1
において、y≠0 を省かないとしたら、
（x＞y）ならば（y≠０　かつ　x/y＞1）
と解釈するか、
（y≠０）ならば｛（x＞y）ならば（x/y＞1）｝
と解釈するかの違いがあるのですが、
分母≠0の暗黙の了解を、どこに適用するか(数式だけに適用か、命題全体に適用か)の暗黙の了解はあるのでしょうか。

＞複素正方行列 A について det(A) が実数ならば det(A^-1) も実数

（Ａが複素正方行列）ならば｛（det(A) が実数）ならば（Ａ^-1が存在　かつ　det(A^-1) が実数）｝
と解釈するか、
（Ａが複素正方行列　かつ　A^-1が存在）ならば｛（det(A) が実数）ならば（det(A^-1) が実数）｝
と解釈するかの違いでしょうか。
前者の解釈なら偽、後者の解釈なら真。
そもそも、A^-1と書いた時点で、A^-1が存在する、つまり、det(A)≠０というのは、どれくらい認められている暗黙の了解なのでしょうか。
高校数学において、lim[n→∞]f(n)と書いた時点で、極限値が存在する、つまり、収束するというのは、たぶん認められていないと思うので、A^-1の件は微妙です。
高校数学のしっかりした教材だと、A^-1と書く以前に、存在性について明言されいるとは思っています。
その意味で、A^-1とx/yの話は違っているとの認識で、
A^-1と書く以前に、存在性について明言していない上の命題は、解釈が分かれるので高校教材としてはよくないと思います。
つきつめれば解釈の違い、慣習の違いだと思いますが、この件は、自信ないので、教えていただければ幸いです。

お礼日時：2012/04/21 16:19