次の問題の解答で分からないところがあるので説明をしてもらいたいです。
問: 無理数全体の集合からRへの全単射が存在することを証明せよ
解: R-Q から R への全単射の存在を示せばよい
R-Q は無限集合であるから、可算部分集合 A が存在する
ここで Q は可算集合なので、A∪Q は可算集合
よって全単射 f: A→A∪Q が存在するので
関数 g:R-Q →Rを
g(x)= { x (x∈R-A)
〔 f(x) (x∈A)
と定義すると g は全単射である ■
最後のところで、なぜgを上のように定義すると全単射になるのかがわかりません。
よろしくおねがいします。
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