プロが教えるわが家の防犯対策術!

こんばんは。大学の数学で分からないところがあるので質問させて頂きます。
平面曲線の特異点についてなのですが、教科書では、
「f(x,y)=0となる点(x,y)の点の集合のなかの点(a,b)での、
(∂f/∂x)=(∂f/∂y)=0
となる点を特異点、そうでない点を通常点と呼ぶ」
とあります。
そして、問題演習で分からなくなってしまったのですが、
f(x,y)=x^3+y^3-3xy=0
について、特異点を求めるときに、解答では
「∂f/∂x=3x^2-3y・・・(1)
∂f/∂y=3y^2-3x・・・(2)
だから特異点は原点(0,0)だけ」
となっていたのですが、点(1,1)を代入しても(1)、(2)式は0になりますよね?(1,1)は特異点にはならないのでしょうか?他の演習問題も同じ理由でつかえています。
どなたかご指導お願い致します。

A 回答 (3件)

定義通りなら(1,1)も当然特異点になりますよね。


おそらく教科書と講義、あるいは教科書と演習書で特異点の定義が違っているのではないでしょうか。

問題集で(0,0)のみ特異点と言っていることから察するに、問題集の方では特異点=あん点のことを指してるのではないでしょうか・・・


参考までにx=f(x.y)の曲面を添付しておきます。
(0,0)があん点、(1,1)が極小になっていますね。
「平面曲線の特異点について」の回答画像1
    • good
    • 0

「特異点」という言葉は、文字通り「何か特別のことが起こっている点」という程度の意味で、


杓子定規には、「~の性質に関する特異点」と書かなければ、本当は意味が定まりません。
関数の微分可能性に関する特異点のことを、単に「特異点」と呼ぶ慣習が普及していますが、
そのテキストが扱っている話題によっては、別のものを「特異点」と呼びます。

∂f/∂x = ∂f/∂y = 0 となる (x,y) のことを f の「臨界点」、
f(x,y) = 0 となる (x,y) のことを f の「零点」と言うのですが、
臨界点のことを特異点と呼んだり、零点や極のことを特異点と呼んだりする文脈があるのです。
個々の例で、どの意味で「特異点」と言っているのか、確認する必要があります。

# 臨界点の中には、「鞍点」「極小点」「極大点」などがあります。
# 「極」は、1/f(x,y) の零点になる (x,y) のことで、「極小点」「極大点」とは違います。
    • good
    • 0

特異点の定義をしっかりみましょう.


(1,1)は確かに(∂f/∂x)=(∂f/∂y)=0
ですが,
f(1,1)=1^3+1^3-3x1x1=-1
なので,f(x.y)=0ではありません.
したがって,(0,0)のみが特異点です.

考察対象は
f(x,y)=x^3+y^3-3xy
としたときのf(x,y)=0のことなので
z=f(x,y)のグラフを描いてもあまり意味がないのです.
z=f(x,y)とxy平面の共通部分だけが問題なのです.
ちなみにこれは代数曲線の(孤立)特異点のうち
もっとも簡単なものです(ノードと呼ばれている).

#それにしても・・・何の講義なんだろうか
    • good
    • 5

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q【応用解析】特異点 留数 位数について

特異点、留数、位数の求め方(考え方)を教えてください。
例えば
f(z)=1/(z*sinz)
についてその3つの解説お願い特異点、留数、位数の求め方を教えてください。
自分で考えたのは
特異点はz=0,sinz=0→z=nπ(nは整数)(これもあやふや)
位数はz=0は一次なので1位、sinz=nπはよく分からない
留数は1位とk位(k≧2)の場合の公式があるのでそこに入れるらしい(あやふや)
こんな感じです。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

特異点・留数・極の定義からもう一度見直しましょう。そうすればわかるはずです。

こちらの関数
f(z)=1/(z*sinz)
についてですが、分母零点が特異点になるのはおわかりのようですので、大体いいと思います。しかしこれは複素関数なので、
sinz = 0 (zは複素数)
を解くときに、nπ(nは整数)以外の零点が存在しないことを確認しなければなりません。オイラーの公式を使って、sinzを指数関数で表記すればできます。

極におけるその位数とは、特異点で複素関数をローラン展開したとき、その展開がマイナス何乗の項まで存在するか、ということです。位数が無限大になる「真性特異点」というものもあります。
したがって、この関数はz=0においては1位の極ではありません。もういちどよく考えてください。

留数とは、特異点のローラン展開におけるマイナス1乗の係数のことです。求めたい留数においてそれが何位の極なのかがわかれば、その計算方法も考えればわかるはずです。
留数がわかれば複素積分に応用できるので、留数は複素関数において重要な考えの一つです。

特異点・留数・極の定義からもう一度見直しましょう。そうすればわかるはずです。

こちらの関数
f(z)=1/(z*sinz)
についてですが、分母零点が特異点になるのはおわかりのようですので、大体いいと思います。しかしこれは複素関数なので、
sinz = 0 (zは複素数)
を解くときに、nπ(nは整数)以外の零点が存在しないことを確認しなければなりません。オイラーの公式を使って、sinzを指数関数で表記すればできます。

極におけるその位数とは、特異点で複素関数をローラン展開したとき、...続きを読む

Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

...続きを読む

Q複素積分におけるの特異点の求め方

添付画像の問題を特にあたり、e^(-z^2)の特異点を求めることになると思うのですが、

このような関数の特異点はどのようにして求めるのでしょうか。

Aベストアンサー

どこにもない。複素平面上すべての点で正則である。
当然1周する閉じた経路上での積分を行うと"0"になる。

Q臨界点について

f(x,y)の関数について臨界点を求めるように課題が出ました。

質問(1) 臨界点と境界点は同じものなのですか?
質問(2) 同じではないとしたら、臨界点とは何なのですか?

どなたか分かる方、教えてください。

Aベストアンサー

> δf/δx=4x^3-2x-2y    …… (1)
> δf/δy=4y^3-2x-2y   …… (2)
>
> という問題があって臨界点をもとめると
> (x,y)=(1,1),(0,0),(-1,-1)
> となっている問題集があるのですが、具体てきにどうやって解いているのですか?
> 私がとくとy=xを満たす点、というように無限に出てきてしまうのですが。。。

y=x というのは、(1)-(2) からでてきたのだと思いますが、それだけでは解いたことになりませんね。
なぜなら、
(1)かつ(2) ⇔ (1)かつ( (1)-(2) ) ⇔ (1) かつ y=x
だからです。
これより、関数 f の臨界点が (0,0), (1,1), (-1,-1) と求まります。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q極座標による重積分の範囲の取りかた

∬[D] sin√(x^2+y^2) dxdy  D:(x^2 + y^2 <= π^2)
を極座標でに変換して求めよ。

という問題で、

x = rcosθ、y = rsinθ とおくのはわかるのですが、
rとθの範囲を、どのように置けばいいのかわかりません。


x^2+y^2
= (rcosθ)^2 + (rsinθ)^2
= r^2{(cosθ)^2 + (sinθ)^2}
= r^2< = π^2

とした後、-π =< r =< π としたのですが、合っているのでしょうか?
rとθの範囲の取りかたを教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

Dは原点中心の半径πの円盤なので、
0≦r≦π、0≦θ<2πです。(-π<θ≦πでもよいです。
等号もどっちにつけても良いです)

ちなみに極座標ではr≧0です。

極座標は原点からの距離rと、x軸とのなす角θを使った点の表示
方法です。

Q複素解析 留数って何ですか?

こんばんは、大学2年生です。現在、複素解析を授業でやっているのですが留数って何ですか?授業中に

f(z)=e二乗/(z-1)(z-2) (z=2)について証明しろと問題が
出されたのですが理解できず困ってます。

アドバイスお願いします。

Aベストアンサー

留数とは
Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  …(1)

の積分によって求められる値が留数だ!ってまず覚えてください。
この式は領域D内にある、特異点を含む単一曲線を示していると考えてください。

(z=2)は特異点ですよね?
ローラン展開しないとf(z)は分母が0になっちゃいますよね?
それが特異点なのです。だからz=1も特異点です。
ここでまた大事なのが特異点の極といわれるものです。この式の場合はどっちも(z-1)^1(z-2)^1なのでどっちも1位の極です。
    (z-1)^2(z-2)^1ではz=1では2位、z=2では1位の極となります。極は一般にはk位の極などといいます。
f(z)の特異点における留数を求めたい場合は、f(z)と求めたい特異点の極を求める必要があります。


Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  
    =1/(k-1)!*lim(z→a) d^(k-1)/dz^(k-1)[(z-a)^k*f(z)]
に極、f式を代入して簡単に求められます。

Q◆ガンマ分布の再生性◆

こんにちは。よろしくお願い致します。
問題はガンマ分布の再生性についての証明です。

(問題)
X_1とX_2が独立で、X_j~Ga(α_j,β) (j=1,2)
⇒X_1+X_2~Ga(α_1+α_2,β)


解析学の勉強でガンマ分布の勉強をしていないため、統計学で出てきたこの問題がわかりません。
基礎から教えていただければ幸いです。どうぞよろしくお願いします!

Aベストアンサー

証明方法は2つ方法があります。
1つは積率母関数(又は特性関数)が同じものは分布も同じであることを利用して、X_1+X_2の分布とGa(α_1+α_2,β)の分布の確率母関数が同じことを示す。もう1つは下のように地道に計算していく方法です。

形状母数α_i, 尺度母数βのガンマ分布に従う確率変数X_iの確率密度分布をf(x_i, α_i, β)としたとき、

∫∫f(x_1, α_1, β)×f(x_2, α_2, β)dx_1dx_2 = ∫f(y, α_1+α_2, β)dy (積分範囲はすべて(0, ∞))

となることを示すだけです。
どちらかの方法でやってみてわからないとこと出てきたら、補足に追加してください。

Q複素解析で、極の位数の求め方

無限積分の値を求めるのに留数定理を使用するので、その際留数を求めることになりますが、
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/100cmp.html
によると、留数を求めるのに極の位数が必要だと書いています。

極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、位数の求め方がわかりません。位数はどのようにして求めることができるのでしょうか?

Aベストアンサー

>極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、
>位数の求め方がわかりません。
極がaのとき、分母をq(z)とおくと、q(z)を因数分解したとき
(z-a)^m
を因数として持つとき(q(z)=0がm重解を持つとき)
mを位数といいます。
位数mを求めるにはz=aが何重解かを求めればそれがmになります。

Q2階微分d^2y/dx^2を詳しく教えてください

微分=傾き=tanθ=dy/dxと言うのは入門書でなんとかわかったのですが
2階微分=傾きの変化率(傾きの傾き)=d^2y/dx^2
のこのd^2y/dx^2がなぜこうなるのかぜんぜんわかりません。
dy/dxがどう変化してd^2y/dx^2となるのか教えてください。
いろいろ本やネットで調べましたが傾き=tanθ=dy/dxまでは入門書でも
詳しく書かれているのですがd^2y/dx^2へはどの解説でもいきなり飛んでいってしまいます。

Aベストアンサー

表記の仕方ですか?
dy/dxは 
yをxで微分するということです
2階微分はdy/dxをさらにxで微分するということです
dy/dxのyのところをdy/dxにおきかえれば
d(dy/dx)/dx=d^2y/dx^2
見た目ではdが2回掛かっているからd^2
dxの部分も2回掛かっているのでdx^2なんですが
dを1つの変数とみたり、dxを1つの変数と見てたりして分かりにくいかもしれません
これはそう決めたからなんです
ある程度覚えるしかないです


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング