
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
1)
三平方の定理より
AM^2+CM^2=AC^2
CM=CD/2=1、AC=2 より
AM^2=2^2-1^2=3 ∴AM=√3
2)余弦定理より
cos∠ABM=(AB^2+BM^2-AM^2)/(2AB*BM)
AM=BM=√3、AB=2 より
cos∠ABM=(4+3-3)/(2*2*√3)=1/√3=√3/3
3)
△ABMはAM=BM=√3,AB=2の二等辺三角形なので
ABの中点をNとすると
AN=AB/2=1,MN=√(AM^2-AN^2)=√(3-1)=√2
AN⊥MNなので
△ABMの面積S=AB*MN/2=√2
4)
平面ABM⊥CDより
四面体の体積V=四角錐ABMCぼ体積+四角錐AMMDの体積
=△ABMの面積*CM/3+△ABMの面積*DM/3
=√2*(CM+DM)/3
=2√2/3
No.1
- 回答日時:
>辺の長さが2の正四面体ABCDにおいて、辺CDの中点をMとする。
このとき、次のものを求めよ。>1)線分AMの長さ
△ACDは1辺2の正三角形だから、AMはその高さで AM=√3
>2)cos角ABMの値
△ABMで、AB=2,BM=√3(正三角形BCDの高さ)だから、余弦定理より、
cos角ABM=(AB^2+BM^2-AM^2)/2×AB×BM
={2^2+(√3)^2-(√3)^2}/2×2×√3
=1/√3
>3)△ABMの面積
sin角ABM=√{1-(1/√3)^2」=√2/√3
面積の公式より、
(1/2)×AB×BM×sin角ABM
=(1/2)×2×√3×(√2/√3)
=√2
>4)四面体、ABCDの体積
Aから△BCDに垂線をおろし、交点をHとする。
HはBM上にあり、△BCDの重心であるから、
BH:HM=2:1より、
BH=(2/3)BM=(2/3)×√3=2/√3
△ABHは直角三角形だから、
AH^2=AB^2-BH^2
=2^2-(2/√3)^2
=8/3より、
AH=2√2/√3
正三角形△BCDの面積=(1/2)×2×√3=√3
体積=(1/3)×△BCD×AH
=(1/3)×√3×(2√2/√3)
=2√2/3
でどうでしょうか?
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