積分 (x^2+1)/(x^4+x^2+1)

(x^2+1)/(x^4+x^2+1)の積分ってどうやるんですか？
1/(x^2+x+1)と1/(x^2-x+1)にわけたんですけどそれじゃできそうもなくて。。。　
三角関数に置き換えたりしてみたんですけど。。
ヒントでもいいのでよろしくお願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/04/30 00:39

＞(x^2+1)/(x^4+x^2+1)の積分ってどうやるんですか？

＞1/(x^2+x+1)と1/(x^2-x+1)にわけたんですけどそれじゃできそうもなくて。。。　
それでできます。
∫(x^2+1)/(x^4+x^2+1)ｄｘ
＝(1/2)∫｛1/(x^2+x+1)｝ｄｘ＋(1/2)∫｛1/(x^2-x+1)｝ｄｘ
になっているはずなので、左側だけやってみます。

公式∫ｄｘ／(x^2+ａ^2)＝(1/a)tan-1（x/a)を使います。
分母を平方完成すると、
ｘ^2＋ｘ＋１
＝（ｘ＋1/2）^2＋（3/4）
＝（ｘ＋1/2）^2＋（√3/2）^2

(1/2)∫｛1/(x^2+x+1)｝ｄｘ
＝(1/2)∫ｄｘ/｛（ｘ＋1/2）^2＋（√3/2）^2｝
ｘ＋1/2＝ｔとおくと、ｄｘ＝ｄｔ
＝(1/2)∫ｄｔ／｛ｔ^2＋（√3/2）^2｝
＝(1/2)×（2/√3）×tan-1（２ｔ／√3）＋Ｃ
＝(1/√3)×tan-1｛２（ｘ＋1/2）／√3｝＋Ｃ
＝(1/√3)×tan-1｛(2x+1)/√3｝＋Ｃ

になりました。確認してみて下さい。

この回答へのお礼

そういう風に置き換えるんですね　回答ありがとうございました・

お礼日時：2012/04/30 01:22

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/04/30 00:27

その筋でいい.

実際どうやったのかは知らんけど.