sinθ/θ（θ→0）の証明

高校の教科書で、sinθ/θ（θ→0）を証明するのに、弧度法を習って、角θに立つ扇形を二つの面積が（1/2）sinθと（1/2）tanθの三角形ではさんで評価します。

　・角度を定義していない
　・弧の長さが定義されていない

などという批判を聞くのですが、どういうことでしょうか？

No.1 回答者： hugen 回答日時： 2012/05/12 09:25

sinθ/　循環論法　　で検索してね！

例えば
http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~kawanaka/sinx …

No.2 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/05/12 10:37

弧度法ってのは

（単位）円周の長さを角度として扱うものです．

したがって，「長さ」とは何ぞや？という定義が必須です．
で・・・実は「長さ」というのはそんなに簡単なものでないです．
「直線の長さ」ならまだましですが（それでも実は結構難しい），
円周（弧）の長さってどうやって決めますか？

一般の曲線の長さは「積分」で決めます．
そして，円周の長さを積分するには
三角関数の積分を使いますが，その計算には三角関数の微分を使います．
三角関数の微分には，sin(x)/xのx->0の極限を使います．
sin(x)/x (x->0)の極限の証明には「長さ」を使います

・・・あれあれ？

ということです
（ほかにも，あの「証明」には面積の問題もあったような気がするけど，
面積ってのは長さの拡張で話はほとんど同じ）．

厳密に処理するならば
・集合を定義する
・集合から自然数を定義する
・自然数に四則演算をいれる
・自然数から演算を保ちつつ整数・有理数・実数を作る
・実数から級数の収束を定める
・三角関数などを級数で定める
なんてことを延々とやってからsin(x)/xの極限を示します
そうすると，この極限は厳密かつ自明な式になりますが，
今度は三角関数と円の関係が不明瞭になったりします(^-^;

だから，あの「証明」はあれでいいのです．
高校数学は理解することが大事であって，
別に数学の厳密な理論を組み立てるわけではないし，
全員が数学者になるわけでもありません．
あの流れで理解して実用上は問題ありません．

同様の「初等数学教育における循環論法」ってのは，中学校の幾何にもあって
「二等辺三角形の底角が等しい」ってのも実は教科書にある
合同を使った証明はある意味循環論法です
興味があれば「ロバの橋」とかで調べるとよいでしょう．

この回答へのお礼

的確なご指摘、ありがとうございました。

お礼日時：2012/05/25 01:22