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x^8+x^4+1を複素数上で分解したいのですが、ヒントくださいますか?

A 回答 (6件)

#3です。



別解です。
(x^4-1)を掛けると
(x^4-1)(x^8+x^4+1)=x^12-1
となることから、単位円を利用して、単位円を12等分した零点(時計の時間目盛りの数字の位置)を求めて、そこから(x^4-1)の零点「±1,±i」を除いた8つの零点「e^(iπ/6),e^(iπ/3),e^(i2π/3),e^(i5π/6),e^(i7π/6),e^(i4π/3),e^(i5π/3),e^(i11π/6)」を求めてれば良いでしょう。(x-零点)なる因数の積を取れば複素数上での因数分解になります。
なお、e^(ikπ/6)の計算はオイラーの公式を使って
 e^(ikπ/6)=cos(kπ/6)+i sin(kπ/6) (k=1,2,4,5,7,8,10,11)
で計算すれば良いでしょう。

利用して

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーの公式
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。この解法はきれいですね。勉強になりました。

お礼日時:2012/05/27 00:28

因数定理を使いましょう。


y^2 + y + 1 = 0 の解 y は?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。 因数を求めればいいんですね。

お礼日時:2012/05/27 00:26

(1変数多項式の因数分解)



蛇足ですが、一般の1変数多項式f(x)を因数分解する方法を紹介します。 お気づきのように、これは、f(x)の複素数根をすべて計算すれば達成できます。そこで、x = s+itと表して、

f(s+it) = g(s,t) + ih(s,t) (g(s,t)とh(s,t)は実数係数の2変数多項式)

とすれば、sとtの連立方程式

g(s,t) = 0
h(s,t) = 0

の実数解を求めれば良いことになります。この連立方程式は、「終結式」というのを使って一方の未知数を消去することによって、解くことができます。

(整数、有理数、実数の範囲の因数分解)

いったん、複素数の範囲で因数分解ができてしまえば、整数や有理数の範囲で因数分解するのは簡単です。複素数の範囲の因子をいくつか選んで積を作り、係数が整数や有理数になるものを選んでくるだけでよいのです。

これらの計算は、完全に自動化できるので、因数分解を実行するコンピュータプログラムも作れます。

(2変数多項式の因数分解)

上と同じような方法で、2変数多項式の因数分解もできます。ただ、この場合は、複素数根の代わりに、「Puiseux(ピュイズー)級数」というのを計算します。これも、完全に自動化できるので、コンピュータプログラムが作れます。
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x^8+x^4+1=(x^4+1)^2-(x^2)^2


=(x^4-x^2+1)(x^4+x^2+1)
={(x^2+1)^2-3x^2}{(x^2+1)^2-x^2}
=(x^2-√3x+1)(x^2+√3x+1)(x^2-x+1)(x^2-x+1)
2次の因数の積に因数分解出来たので
後は各2次の因数について
2次方程式の解の公式を使って、複素解を求めれば
複素数上で因数分解出来るでしょう。
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x^8+2x^4+1


の因数分解はできますか?

x^8+x^4+1=x^8+2x^4+1-x^4
と変形してみましょう。

これができればさらに出てきたものを因数分解するのはこの応用となります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。なるほどー そうやるんですね

お礼日時:2012/05/27 00:25

x^4+x^2+1 = ?

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