No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#3です。
別解です。
(x^4-1)を掛けると
(x^4-1)(x^8+x^4+1)=x^12-1
となることから、単位円を利用して、単位円を12等分した零点(時計の時間目盛りの数字の位置)を求めて、そこから(x^4-1)の零点「±1,±i」を除いた8つの零点「e^(iπ/6),e^(iπ/3),e^(i2π/3),e^(i5π/6),e^(i7π/6),e^(i4π/3),e^(i5π/3),e^(i11π/6)」を求めてれば良いでしょう。(x-零点)なる因数の積を取れば複素数上での因数分解になります。
なお、e^(ikπ/6)の計算はオイラーの公式を使って
e^(ikπ/6)=cos(kπ/6)+i sin(kπ/6) (k=1,2,4,5,7,8,10,11)
で計算すれば良いでしょう。
利用して
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーの公式
No.5
- 回答日時:
(1変数多項式の因数分解)
蛇足ですが、一般の1変数多項式f(x)を因数分解する方法を紹介します。 お気づきのように、これは、f(x)の複素数根をすべて計算すれば達成できます。そこで、x = s+itと表して、
f(s+it) = g(s,t) + ih(s,t) (g(s,t)とh(s,t)は実数係数の2変数多項式)
とすれば、sとtの連立方程式
g(s,t) = 0
h(s,t) = 0
の実数解を求めれば良いことになります。この連立方程式は、「終結式」というのを使って一方の未知数を消去することによって、解くことができます。
(整数、有理数、実数の範囲の因数分解)
いったん、複素数の範囲で因数分解ができてしまえば、整数や有理数の範囲で因数分解するのは簡単です。複素数の範囲の因子をいくつか選んで積を作り、係数が整数や有理数になるものを選んでくるだけでよいのです。
これらの計算は、完全に自動化できるので、因数分解を実行するコンピュータプログラムも作れます。
(2変数多項式の因数分解)
上と同じような方法で、2変数多項式の因数分解もできます。ただ、この場合は、複素数根の代わりに、「Puiseux(ピュイズー)級数」というのを計算します。これも、完全に自動化できるので、コンピュータプログラムが作れます。
No.3
- 回答日時:
x^8+x^4+1=(x^4+1)^2-(x^2)^2
=(x^4-x^2+1)(x^4+x^2+1)
={(x^2+1)^2-3x^2}{(x^2+1)^2-x^2}
=(x^2-√3x+1)(x^2+√3x+1)(x^2-x+1)(x^2-x+1)
2次の因数の積に因数分解出来たので
後は各2次の因数について
2次方程式の解の公式を使って、複素解を求めれば
複素数上で因数分解出来るでしょう。
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