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多項式の分解についての質問です。
理解があいまいなので、間違いをご指摘願いします。
また常識的なことで、抜けてる部分がありましたら(多分あると思いますが)指摘くださると、ありがたいです。

実数係数の多項式は複素数の範囲では1次式に、実数の範囲では、1次式と2次式のみに分解できる(2次式は、判定式D<0をみたす)

有理数の範囲では、分解できる場合とできない場合がある。できても、3次以上の多項式が含まれることもある。

整係数多項式が有理数の範囲で因数分解できるなら、整数係数だけで因数分解できる。

A 回答 (6件)

そういうことですね>#5.



だからこそフェルマー数が 2^(2^n)+1 という形になっている (「1 でない奇数で割り切れない」数は 2 のべきしかない) わけでして.

この回答への補足

(1+x)(1-x+x^2-x^3+...+x^(2n))と因数分解できてしまう
ではなくて、
、(1+x)(1-x+x^2-x^3+...+x^(2n))を利用して因数分解できてしまう
の間違いです。

補足日時:2012/05/31 02:09
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
ある数字の「1でない奇数でわりきれる数」乗は、(1+x)(1-x+x^2-x^3+...+x^(2n))と因数分解できてしまうからということですか?

お礼日時:2012/05/31 02:08

脇から失礼。



x^5+1 = (x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)

であることと、 10000000000 が5で割り切れることとを使って、 x^10000000000+1 を因数分解できます。

ちなみに、 x^n - 2 がこれ以上分解できないことについては、"Eizenstein criterion"  という有名な定理があります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。なるほど。。。因数分解についてまだまだ勉強しないとだめですね><、"Eizenstein criterion" チェックしてみます

お礼日時:2012/05/31 02:01

えぇっと.... 残念ながら x^10000000000 +1 は有理数の範囲で (従って整数の範囲で) 因数分解できてしまったりします....



ちなみに「分解できる」はともかく「分解できない」はちょっと言葉が足りないと言われるかもしれない. 「『それ以上』分解できない」なら問題ない.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。そうなんですか。因数分解のヒントを教えていただけるとありがたいのですが、、、

>「『それ以上』分解できない」なら問題ない.
わかりました 今後気をつけます。

お礼日時:2012/05/30 04:06

#2です間違えました


f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1は2次式の積に分解できます。
取り消します
全部正しいです
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f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1


は実数の範囲では、既約で分解できないのでは?
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全部正しいです。



2番目の「有理数の範囲では、分解できる場合とできない場合がある」に関係して、例えば、1以上のnで、X^n - 2 は分解できません。したがって、分解できない何次式でも作れます。

3番目の「有理数の範囲で因数分解できるなら、整数係数だけで因数分解できる」は、2変数以上の多項式についても正しいです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。なるほど 確かにx^10000000000 +1とかにすれば無限に大きくて、有理数の範囲で分解できない式は作れますね。

お礼日時:2012/05/28 23:40

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