ロピタルの定理

大学１年生です。
手持ちの『理工系 微積分学』（荒井正治、学術図書出版）という教科書にロピタルの定理は次のようなものとあります。
lim(a,b)はlim_(a→b)
"!="は"≠"
"inf"は無限大
"+-"は+と-の複合
を表すとします。

1.
(a,b]で定義された微分可能な関数 f(x),g(x) が次の仮定を満たすとする。
　(i) g'(x)!=0
　(ii) lim(x,a+0)f(x)=lim(x,a+0)g(x)=0
　　または
　(ii)' lim(x,a+0)f(x)=lim(x,a+0)g(x)=inf
　(iii) 次式の右辺の極限が存在するかまたは+-infに発散し、次の等式が成り立つ
このとき、次式の左辺の極限が存在するかまたは+-infに発散し、次の等式が成り立つ。
lim(x,a+0)f(x)/g(x)=lim(x,a+0)f'(x)/g'(x)

2.
(1.で区間が(a,inf)かつlim(x,inf)の場合)


(ii)の場合の証明で f(a)=g(a)=0 と定義することにより fとgが[a,b]でも連続になるためコーシーの平均値の定理を満たすようになり…としていますが、
f(a)=g(a)=0 のような定義をしても一般的なのでしょうか。私にはそのようにならない関数を見つけられないのですが、本当に存在しないのでしょうか。
また、存在するとすれば、そのような関数の場合はどのように証明するのでしょうか。

質問が多いですが、よろしくお願いします。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/22 14:16

いや、f(a)=g(a)=0 かどうか？という話ではなくて、

F(x)=f(x) when x≠a
F(a)=0
G(x)=g(x) when x≠a
G(a)=0
という関数 F,G を考えて、f,g の代わりに F,G を使う
ということです。
f(x) と F(x)、g(x) と G(x) は x≠a では一致しますから、
lim[x->a+0]f(x)/g(x) と lim[x->a+0]F(x)/G(x) は、
収束性も極限の値も一致します。
わざわざ F,G と命名するほどのものでもないから、
「f(a)=g(a)=0 と定義する」と言って済ませてしまうのです。
やっていることは、そういうこと。