標準正規分布のモーメント母関数を計算した、3次モーメントと4次モーメントを求めたいです。よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

モーメント母関数をM(t)とすると、モーメント母関数の定義により、M(t)=E(exp(tX))です。

ただし、Xは、標準正規分布に従う確率変数で、E( )は、平均値を表すとします。実際に計算すると、

M(t) = exp(t^2/2)

となります(添付図参照)。これの4階までの導関数をとると、次のようになります。

M'(t) = t・exp(t^2/2)
M''(t) = exp(t^2/2) + t^2・exp(t^2/2)
M'''(t) = 3t・exp(t^2/2) + t^3・exp(t^2/2)
M'''(t) = 3exp(t^2/2) + 6t^2・exp(t^2/2) + t^4・exp(t^2/2)

よって、

0回りの3次モーメント = M'''(0) = 0
0回りの4次モーメント = M''''(0) = 3

となります。
「標準正規分布のモーメント母関数」の回答画像2
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。とてもわかりやすかったです。

お礼日時:2012/07/04 00:21

単に3次モーメントと4次モーメントとしか書かれていないので、取り敢えず原点の周りのモーメントを求めると解釈して・・・、



E[X^3] = (1/√(2π))・∫(-∞,∞){x^3・e(-x^2/2)}dx
E[X^4] = (1/√(2π))・∫(-∞,∞){x^4・e(-x^2/2)}dx
・・・を計算すればよいと思う・・・!

或いは、或いはN(0,1)のモーメント母関数φ(θ)を計算して、φ'''(θ)|θ=0 , φ''''(θ)|θ=0 ('は微分を表すものとする)を求めればよいと思う・・・!

この回答への補足

どうもありがとうございます。「・・・を計算すればよいと思う・・・!」というところの計算が分からないのですが、教えていただけますか。

補足日時:2012/07/02 13:15
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時:2012/07/04 00:22

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Q標準正規分布のモーメント母関数について

次の問題が与えられています。

【問題】標準正規分布のモーメント母関数を求めよ。

以下のように解答します。

【解答】

モーメント母関数とは、φ(x)として、特にe^t*Xを選んだときの期待値E[e^t*X]を言う。
(ただし、tはXと無関係な変数)

この指数関数e^t*Xをマクローリン展開すると、

e^t*X=1+tx+1/2! (tx)^2+1/3! (tx)^3+⋯…である

tはXに無関係だから、

E[e^t*X]=∑_(k=0)^∞(1/k! E[X^k ] t^k)
となる。

標準分布はe^(-z/2)/2とあらわされる。
これをモーメント母関数を用いて計算する。
φ(x)= E(e^t*X)
=∫_(-∞)^∞ e^tx (1/√2π e^(-x^2/2) )dx⋯⋯①
=1/√2 ∫_(-∞)^∞ e^(-x^2/2+t*x) dx⋯⋯②
=1/√2 ∫_(-∞)^∞ e^(-(x-t)^2/2+t^2/2) dx⋯⋯③
=e^(t^2/2) 1/(√2 π) ∫_(-∞)^∞ e^(-(x-t)^2/2) dx⋯⋯④
=e^(t^2/2)⋯⋯⑤
よって、標準正規分布のモーメント母関数は、e^(t^2/2)

【質問】
A:この解答で正解でしょうか(友人が教えてくれた内容で、今一つ確証が得られません)。
B:次の点が納得できません(友人は、「知らない。解法を暗記しているだけだから……」とのこと)。
 (a)①から②にかけて、πが消えているのですが、どうしてでしょうか。
 (b)③から④にかけて、πが戻っているのですが、どうしてでしょうか。
 (c)④において、 1/(√2 π) ∫_(-∞)^∞ e^(-(x-t)^2/2) dxが1になるのだと思いますが、どうしてでしょうか。

以上、お手数ですが、教えてください。
よろしくお願いします。

次の問題が与えられています。

【問題】標準正規分布のモーメント母関数を求めよ。

以下のように解答します。

【解答】

モーメント母関数とは、φ(x)として、特にe^t*Xを選んだときの期待値E[e^t*X]を言う。
(ただし、tはXと無関係な変数)

この指数関数e^t*Xをマクローリン展開すると、

e^t*X=1+tx+1/2! (tx)^2+1/3! (tx)^3+⋯…である

tはXに無関係だから、

E[e^t*X]=∑_(k=0)^∞(1/k! E[X^k ] t^k)
となる。

標準分布はe^(-z/2)/2とあらわされる。
これをモーメント母関数を用いて計...続きを読む

Aベストアンサー

標準正規分布のモーメント母関数は一般的なモーメント母関数を標準正規分布に適用しただけの話であって、どんな統計の本にも出ていますのでまずは教科書を読みなおしてください。下記のurlを参考にしてもよいでしょう。
http://www.aandt.co.jp/jpn/qc/basic/bokansu.htm

要するに①の積分をやればよい。

φ(x)= E(e^t*X)
=∫_(-∞)^∞ e^tx (1/√2π e^(-x^2/2) )dx⋯⋯①

この式はあっています。

より正確に書くと

φ(x)= E[e^t*X] =∫(x:-∞→∞)[(e^tx)×(e^(-x^2/2)/√2π ]dx

  =(1/√2π )∫(x:-∞→∞)[e^(-x^2/2+tx)]dx

指数を平方完成して

-x^2/2+tx=(-1/2)(x^2-2tx)=(-1/2)[(x-t)^2-t^2]=t^2/2-(x-t)^2/2

φ(x)=(1/√2π )∫(x:-∞→∞)[e^(-x^2/2+tx)]dx

=(1/√2π )e^(t^2/2)∫(x:-∞→^∞)[e^(-(x-t)^2/2)]dx

=e^(t^2/2)∫(x:-∞→^∞)(1/√2π [e^(-(x-t)^2/2)] dx

積分は要するに正規分布を定義域で積分したものなので1、よって

φ(x)=e^(t^2/2)

質問の式(2),(3)はπが落ちているから間違い。

結論の(4)式はあっています。

標準正規分布のモーメント母関数は一般的なモーメント母関数を標準正規分布に適用しただけの話であって、どんな統計の本にも出ていますのでまずは教科書を読みなおしてください。下記のurlを参考にしてもよいでしょう。
http://www.aandt.co.jp/jpn/qc/basic/bokansu.htm

要するに①の積分をやればよい。

φ(x)= E(e^t*X)
=∫_(-∞)^∞ e^tx (1/√2π e^(-x^2/2) )dx⋯⋯①

この式はあっています。

より正確に書くと

φ(x)= E[e^t*X] =∫(x:-∞→∞)[(e^tx)×(e^(-x^2/2)/√2π ]dx

  =(1/√2π )∫(x:-∞→∞)[e^...続きを読む

Q大学の統計学です 確率母関数、ベルヌーイ分布、モーメント母関数

明日試験なのですが、勉強不足で全然わかりません・・・・

・2項分布B(n,p)の確率母関数を計算せよ

・幾何分布Ge(p)の確率母関数を計算せよ

・X1,X2....Xnを互いに独立でベルヌーイ分布に従うn個の確率変数とするとき、Sn=X1+X2+...+Xnの分布が2項分布となることを示せ
またSn/nの平均値と分散を求めよ

・指数分布Exp(θ)のモーメント母関数、平均値(期待値)、分散を計算せよ

・2回のサイコロ投げにおいて、Xを最初の目、Yを2回目の目とするとき、Z=X+Y,W=X-Yとおく
(1)ZとWの平均値を求めよ(2)ZとWの分散をもとめよ(c)ZとWの共分散を
求めよ

・X1,X2....Xnを互いに独立で同一の分布に従う確率変数とする。
E(Xi)=μ、V(Xi)=σ^2、i=1,....,nとしX1,X2....Xnの標本平均をZ=1/n(X1,X2....Xn)とおく。
E(Z)とV(Z)を計算せよ


わかる方教えていただけたら嬉しいです!!!!
よろしくお願いします。

明日試験なのですが、勉強不足で全然わかりません・・・・

・2項分布B(n,p)の確率母関数を計算せよ

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・X1,X2....Xnを互いに独立でベルヌーイ分布に従うn個の確率変数とするとき、Sn=X1+X2+...+Xnの分布が2項分布となることを示せ
またSn/nの平均値と分散を求めよ

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・2回のサイコロ投げにおいて、Xを最初の目、Yを2回目の目とするとき、Z=X+Y,W=X-Yとおく
(1)ZとWの平均値を求めよ(2)...続きを読む

Aベストアンサー

取り敢えず簡単そうなのだけ・・・

・2項分布B(n,p)の確率母関数を計算
母関数をP(s)とすると
P(s)=Σ[k=0,n]B(n,p)s^kを計算すればよい。
二項分布B(k,p)=nCk・p^k・q^(n-k)だから
P(s)=Σ[k=0,n]nCk・p^k・q^(n-k)・s^kを計算

・幾何分布Ge(p)の確率母関数を計算
幾何分布Ge(p)=pq^(k-1)だから
P(s)=Σ[k=0,n]p・q^(k-1)・s^kを計算

・指数分布Exp(θ)(・・・?)のモーメント母関数、平均値(期待値)、分散を計算
モーメント母関数をφ(θ),確率密度関数をf(x)とすると
φ(θ)=∫[-∞,∞]exp(θx)f(x)dx (確率変数Xが連続量の場合)だから
φ(θ)=E[exp(θx)]=∫[0,∞]exp(θx)・λexp(-λx)dx を計算
平均値E[x]=∫[0,∞]x・λexp(-λx)dxを計算
分散V[x]=E[(x-μ)^2]=∫[0,∞](x-μ)^2・λexp(-λx)dxを計算

取り敢えず簡単そうなのだけ・・・

・2項分布B(n,p)の確率母関数を計算
母関数をP(s)とすると
P(s)=Σ[k=0,n]B(n,p)s^kを計算すればよい。
二項分布B(k,p)=nCk・p^k・q^(n-k)だから
P(s)=Σ[k=0,n]nCk・p^k・q^(n-k)・s^kを計算

・幾何分布Ge(p)の確率母関数を計算
幾何分布Ge(p)=pq^(k-1)だから
P(s)=Σ[k=0,n]p・q^(k-1)・s^kを計算

・指数分布Exp(θ)(・・・?)のモーメント母関数、平均値(期待値)、分散を計算
モーメント母関数をφ(θ),確率密度関数をf(x)とすると
φ(θ)=∫[-∞,∞]exp(θx)f(...続きを読む

Q正規分布に従うときの母平均と母分散の求め方

今、数千件のデータを解析しています。

ヒストグラムから、それぞれの時点のデータが正規分布に従うことが分かりましたので、母集団も正規分布に従う、という仮定の下で話を進めます。

各時点での平均と標準偏差をプロットしたところ、右上がりの一次関数になり、一定の値にはなりませんでした。

そこで、このような場合(標本平均も標本分散も一定の値にならない)、どうやって全体の母集団のパラメータを推定するのでしょうか。

教えてください。

Aベストアンサー

もし、各時点の分布が正規分布で、その平均と標準偏差が時間の一次関数なら、すべての時間を寄せ集めた分布は、正規分布になりません。さらに言えば、時間が無限に続いていくとき、平均が発散してしまいます。それでも、全体の平均と標準偏差を計算したいのでしょうか?

ご質問のような状況のときは、確率過程(とくに加法過程)の言葉で記述するのが普通のように思います。
時間をtで表し、t時点の値をXtとします。すると、「平均と標準偏差が時間の一次関数」の前提の下で、

 Xt = aYt + bt + c

と表すことができます。Ytは、標準正規分布に従う確率変数です。ここで、Xtの振舞を記述するには、次の値を推計することが主要目標になります。

(1)a、b、cの値
(2)Cov(Yt, Yt-s) -∞≦s≦∞

実践的には、もし、異なるtどうしでXtが独立なら、a、b、cは、最小2乗法で推計できます。そうでなければ、ARIMAモデルに当てはめる方法があります。

ネットで、「確率過程」、「正規加法過程」、「Wiener過程」、「時系列分析」、「自己回帰モデル」、「ARIMAモデル」などのキーワードで検索すると、参考になるサイトが見つかるかもしれません。

もし、各時点の分布が正規分布で、その平均と標準偏差が時間の一次関数なら、すべての時間を寄せ集めた分布は、正規分布になりません。さらに言えば、時間が無限に続いていくとき、平均が発散してしまいます。それでも、全体の平均と標準偏差を計算したいのでしょうか?

ご質問のような状況のときは、確率過程(とくに加法過程)の言葉で記述するのが普通のように思います。
時間をtで表し、t時点の値をXtとします。すると、「平均と標準偏差が時間の一次関数」の前提の下で、

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と表すこと...続きを読む

Q正規分布の母平均が既知、標準偏差が増加か一定のとき

正規分布の母平均が既知(可変)で、標準偏差が平均に対して増加関数である時、
(確率変数X,Yの密度関数がそれぞれfX,fY で与えられる)
fx(x)/fY(x) >= fx(y)/fY(y)  --(1)
を満たすことを証明するにはどのような方法がありますでしょうか。
数値計算よりも理論的に検証したいです。

また、母平均は既知で可変、標準偏差が一定の時も上記の関係(1式)を満たすかどうかも調べたいです。
どのように式展開をすればよいか教えてください。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

fXとfYは正規分布の確率密度関数ということですね。
fX(x) = (2πb^2)^(-1/2) e^{-(x-a)^2/(2b^2)}
fY(y) = (2πd^2)^(-1/2) e^{-(y-c)^2/(2d^2)}
とすると、不等式(1)は
(x-y){(b^2-d^2)(x+y)-2(cb^2-ad^2)} >= 0   (2)
に変形できます。
(私が計算間違いをしていなければですが)

(2)から、x-y > 0のときは
(b^2-d^2)(x+y) >= 2(cb^2-ad^2)
x-y < 0のときは
(b^2-d^2)(x+y) <= 2(cb^2-ad^2)
をそれぞれ満たせば良いことがわかりますが、x,yの値によっては不等式を満たさない場合があります。

他に条件はないのでしょうか?

Q標準正規分布の和の分布

標準正規分布の和の分布を求めようとしています。
ですが、答えが綺麗にならなかった為、これでいいのか自信がありません。
ですので、間違いがあれば指摘して頂けないでしょうか?宜しくお願い致します。
http://upup.bz/j/my17603pDRYt6O4n3vI9_BQ.jpg

(※細かい問題設定、私が考えた内容は上記の画像にまとめました。
なお、教えてgoo 上のアップロードですと圧縮で、書いた内容が見えなくなった為、外部サイトを使用)

分布は正規分布のまま、期待値、分散は各々X、Yの和になる気がするのですが。。。

Aベストアンサー

ほへ? あってるんだけど... 「答えが綺麗にならなかった」ってのは, 具体的にはどの辺が「綺麗じゃない」と思ったんでしょうか?

もちろん結果としては「分布は正規分布のまま、期待値、分散は各々X、Yの和になる」ので, そこから逆に考えてもいいけど.


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