数C 確率の乗法定理について質問があります

Question

以下、教科書からの抜粋です
乗法定理とは
「２つの事象A,Bがともに起こる確率P(A∩B)は
　P(A∩B)=P(A)PA(B)　　」

とあり、その例題として次の問題が出されました。

例題：赤玉3個と白玉5個が入っている袋から、玉を1個取り出し
それをもとに戻さないで、続いてもう1個を取り出すとき
2個とも赤である確率を求めよ。

そして回答は次のようなものでした。
回答：最初に取り出した玉が赤であるという事象をA、2回目に
取り出した玉が赤であるという事象をBとすると

P(A) = 3/8

最初に取り出した玉が赤であるとき、2回目は赤玉2個と白玉5個の
中から1個取り出すことになるから

PA(B) = 2/7

2個とも赤であるという事象はA∩Bで表されるから、求める確立は
乗法定理により

P(A∩B) = P(A)PA(B) = 3/8  ×  2/7  = 3/28

以上、教科書からの抜粋でした。

この回答に理解できないところがあり、以下にそれを書きます。

(1)そもそも条件付き確立の定義は
「標本空間Uにおける2つの事象A,Bについて、事象Aが起こった時に、事象Bが
起こる確率を、事象Aが起こったときの事象Bの起こる条件付き確率という」

というものです。この例題の場合、事象Aが起こったときには事象Bは起こらないんじゃないでしょうか？
なぜなら事象Aが起こったあとに、もう一度試行をしなければ事象Bは起こりえないからです。
故にこの例題ではPA(B)を定義できないと思うのです。

(2)乗法定理は PA(B) = P(A∩B)/P(A) を変形して得られたものですが、この変形前の式は
PA(B) = n(A∩B)/n(A) の右辺の分母・分子にn(U)の逆数をかけて得たものです。
つまり事象A,Bともに標本空間Uの部分集合であるのです。

この例題の標本空間Uは赤玉3個と白玉5個が入った袋です。
Aはこの8個入りの袋を標本空間としていますが
Bの場合は、一回目に赤玉を一つ抜いてしまっていますから、Aとは別の標本空間に属する
部分集合となってしまっています。

そのためこの例題の事象A,BをPA(B) = P(A∩B)/P(A)　に当てはめることができないと思うのです。

(3)A,Bは同一の標本空間にないのでA∩Bをそもそも定義できないと思うのです。
そのため2個とも赤であるという事象はA∩Bで表されないと思うのです。

この3点が理解できない所です。
長文を読んでくださってありがとうございました。
私の考えのどこがおかしいのか、教えてください。
回答よろしくお願いします。

MagicianKuma · Accepted Answer

まず標本空間への理解が足りません。標本空間とはある試行において起きうるすべての結果の集合です。
この問題の場合の1回の試行とは、玉を1個取り出し、元に戻さず、続けてもう1個取り出すことです。　標本点はどう表しても良いけど、各玉に番号(1～8)が振ってあるものとして考えます。(1回目の玉番号-2回目の玉番号)で表します。
各玉には色という属性があります。玉1～3は赤、4～8は白とします。
標本空間Ω={(1-2),(1-3),(1-4),・・・(1-8),(2-1),(2-3),・・・,(8-1),(8-2),・・・,(8-7)}　です。元の数は8*7=56
事象とは質問者さんのご理解通り標本空間の部分集合の事です。
事象A:最初に取り出した玉が赤　上記番号で置き換えると最初に取り出した玉番号が1～3です。(1-*),(2-*),(3-*)　すべてあげてみると
　{(1-2),(1-3),(1-4),(1-5),(1-6),(1-7),(1-8),(2-1),(2-3),(2-4),(2-5),(2-6),(2-7),(2-8),(3-1),(3-2),(3-4),(3-5),(3-6),(3-7),(3-8)}  元の数21　P(A)=21/56=3/8
事象B:2回目に取り出した玉が赤　　(*-1),(*-2),(*-3) すべてあげてみると
　{(1-2),(1-3),(2-1),(2-3),(3-1),(3-2),(4-1),(4-2),(4-3),(5-1),(5-2),(5-3),(6-1),(6-2),(6-3),(7-1),(7-2),(7-3),(8-1),(8-2),(8-3)}  元の数21　P(B)=21/56=3/8
事象 A∩B:事象Aと事象Bが同時に起こる。（同時にという言葉は時間的にという意味ではありません。）
　　記号通り、AとBの共通集合です。{(1-2),(1-3),(2-1),(2-3),(3-1),(3-2)}  元の数6  P(A∩B)=6/56=3/28
　　
これを条件付き確率の式から解いてみます。PA(B)はわかりにくいのでP(B|A)と書きます
P(B|A)=P(A∩B)/P(A) から　P(A∩B)＝P(B|A)・P(A)

>この例題の場合、事象Aが起こったときには事象Bは起こらないんじゃないでしょうか？  ここで質問者さんが迷っています。
事象って何でしょうか？　標本空間Ωの部分集合です。この場合の標本点は2個選んだ結果です。1個選んだ結果が標本点ではありません。
>事象Aが起こったときの事象Bの起こる条件付き確率という。　表現がまずい。
「起こったとき」と書くといかにも時間的な同時を考えてしまいます。が、正確には「事象Aが起こるという条件の下で事象Bが起こる確率」です。
今回の場合、玉を取り出す操作は2回に分かれていますが、1回の試行は2個取り出した事です。

kabaokaba · Answer

> ってのは「発言の引用を表す」という暗黙の了解があるんだがなー・・・

本題

で，質問者は回答（正しくはこの場合「解答」）に理解できないところがある
というけど・・・答えが 3/28 になることはOKなのかな？
もちろん，答えは 3/28 でOKなんだけど

こういう場合は，ひとまず別ルートを探してみる．
解説に納得がいかないなら，別の方針を考えてみる．

幸いにして，確率の基本だから，究極的には数えれば何とかなる

まず，二回玉を引いて，一回目の玉は戻さないのだから
引く玉の組合せは，8*7 通り
そして，
一回目が赤，二回目も赤なんだから
この組合せは (1*2)*3 通り 
＃(赤1,赤2)(赤1,赤3)(赤2,赤1)(赤2,赤3)(赤3,赤1)(赤3,赤2)ってこと

ということで，求める確率は (1*2)*3/(8*7) = 3/28

これは納得できる？

で・・・(1)(2)(3)とある理解できない点ってのは
ぶっちゃけた話，標本空間の理解が間違ってるということ

＞この例題の標本空間Uは赤玉3個と白玉5個が入った袋です。

これが間違いの根本．これは標本空間じゃない．

この問題は
赤3，白5がある袋から
二回玉をとる．ただし一回目の玉は袋に戻さない
という試行なので
標本空間ってのは
上の別解で書いた「7*8通りの組合せの集合」のこと
決して，現実世界にある「赤3，白5の玉の入った袋」ではないということ

例えば，細かいことは抜きにして，単純に
コインが1枚ある．表がでる確率は？
という場合
標本空間は「コイン一枚の集合」なんてものじゃなくって
{表が出る,裏が出る}
という集合．そして確率ってのは
この標本空間の部分集合に対して，値を与えるものです

こんなんでどう？
＃ちなみに，私はNo.1のいってることがまるで理解できない

yyssaa · Answer

（１）について
＞この問題は条件付確率の問題ではなく、独立事象が2回続く確率の問題です。
答えはP(A)*P(B)です。
もし条件付確率の問題なら、事象Aが起こったという前提で事象Bが起こる確率
になります。答えはPA(B)です。あくまで事象Bの起こる確率の問題になります。

数C 確率の乗法定理について質問があります

まず標本空間への理解が足りません。

> ってのは「発言の引用を表す」という暗黙の了解があるんだがなー・・・

（１）について

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