力学 衝突と運動量保存則

水平で滑らかな床の上に質量mの箱が静止している。初め、箱の中には右側の内側に接するように質量mの直方体上の物体が静止している。このときの物体の左端と箱の左側の内壁との距離はLである。この状態から箱を打撃して瞬時的に箱に速度V0(>0)を与えた後の運動について調べる。ただし、速度は床に対する値で表すものとし、右向きを正とする。また、重力加速度の大きさをgとし、空気抵抗は無視できるとする。

(1)
まず、箱と物体の間に摩擦がなく、箱の内壁と物体の間のはね返り係数がe (0<e<1)の場合について考える。この場合、箱と物体は衝突を繰り返す。箱と物体の第n回目の衝突直後の箱の速度をVn,物体の速度をvnとすると、Vn,vn,V(n-1),v(n-1),eの間には、e=-(Vn-vn)/{V(n-1)-v(n-1)}の関係が成り立つことから、Vn,vn,V0,e,nの間には、Vn-vn=V0(-e)^nの関係が成り立つことがわかる。また運動量についての考察より、Vn,vn,V0の間には、Vn+vn=V0の関係が成り立つことがわかる。以上より、Vn,vnはそれぞれ、V0,e,nをもちいて、Vn={Vo+V0(-e)^n}/2,vn={V0-V0(-e)^n}/2と表される。このことから、十分に時間が経つと、箱と物体の速度は共にV0/2となることがわかる。また、箱に初速度V0を与えてから十分に時間が経つまでの間にの箱と物体からなる系の力学的エネルギーの変化量は -(mV0^2)/4である。

(2)
次に、箱の内壁と物体との衝突は弾性的(はね返り係数=1)であり、箱の内側の底面と物体の間に摩擦がある場合について考える。箱を打撃して、瞬時的に箱に速度V0を与えると、物体は箱に対して滑り始める。以下では、箱と物体の間の動摩擦係数をμとする。この場合でも、十分に時間が立つと箱の速度と物体の速度は等しくなる。箱に初速度を与えてから十分に時間が経つまでの間の、箱と物体からなる系の力学的エネルギーの変化量は -(mV0^2)/4である。

(2)では、十分に時間が立つと箱と物体の速度は等しくなるといっていますが、(1)のようにはね返り係数と運動量保存則から、Vn,vnを求めて、nを∞にとばしてもVn=vn=V0/2という結果は得られませんでした。以下が導出過程です。

はね返り係数1= - (Vn-vn)/{V(n-1)-v(n-1)}より、Vn-vn=-{V(n-1)-v(n-1)}だから、
Vn-vn=(-1){V(n-1)-v(n-1)}=(-1)^2{V(n-2)-v(n-2)}=・・・={(-1)^n}(V0-v0)=V0(-1)^n
よってVn-vn=V0(-1)^n
また、運動量保存則よりVn+vn=V0
∴ Vn={V0+V0(-1)^n}/2,vn={V0+V0(-1)^n}
∴ lim[n→∞]Vn=V0,0 lim[n→∞]vn=V0,0
(-1)^∞は、-1,1のどちらかなので、VnはV0または0、vnはV0または0になると思います。(-1)^∞が-1と1になりうる確率(?)が50%ずつだから、V0と0の真ん中をとってV0/2にしたということですか?

No.7 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/09/28 17:54

ANo.1,5,6です．タイプしながら計算しているので度々計算ミスが多くすいません．

(2)まず理想化された仮定から打撃で与えられた打撃で箱だけが速度V_0を得て全運動量がmV_0．最初の衝突までの間，箱と物体の速度V_1(t),V_2(t)について

mV_1(t)+mV_2(t)=mV_0 V_1(t)+V_2(t)=V_0

また箱と物体の運動方程式から，箱と物体の最初の位置を原点として打撃後の位置をそれぞれX_1(t),X_2(t)とすると，

mdV_1/dt=-μmg
∴V_1(t)=V_1(0)-μgt=V_0-μgt∴X_1(t)=V_0t-(1/2)μgt^2
mdV_2/dt=μmg
∴V_2(t)=μgt∴X_2(t)=(1/2)μgt^2

この式から箱は物体からの摩擦力より減速し，物体は箱からの摩擦力より加速することがわかります．もちろん，重心の速度V(t)は外力が働かないから

(m+m)dV/dt=(外力の和)=0∴V(t)=V(0)={mV_1(0)+mV_2(0)}/(2m)=V_0/2

で一定です．衝突が起こる前にV_1(t)=V_2(t)となると摩擦力は0になります．この時刻は

t_0=V_0/(2μg)

です．このとき物体は箱の先端から

X_1(t_0)-X_2(t_0)=V_0t_0-μgt_0^2=V_0^2/(2μg)-V_0^2/(4μg)=V_0^2/(4μg)

だけ進んでいます．これはL以下でなければならず，

V_0^2/(4μg)≦L, V_0≦2√(μgL)

つまり，初速がこの条件を満たせば弾性衝突は起こらず，箱と物体は同じ速度

V_1(t_0)=V_2(t_0)=μgt_0=V_0/2

で運動し続けます．運動エネルギーの減少は

｛(1/2)m(V_0/2)^2+(1/2)m(V_0/2)^2｝-(1/2)mV_0^2=-(1/4)mV_0^2

です．

もし，V_0>2√(μgL)なら弾性衝突が起こり，物体は箱の先端に向かいます．このとき，摩擦力は向きが反対になります．それぞれの速度は弾性衝突であることを利用すれば求められます．2回目の衝突が起こるかどうかの条件を結果だけ示すとと，

2√(μgL)<V_0≦2√(3μgL)

ポイントは弾性衝突（箱と物体は撃力を受ける）の前後で箱と物体の速度が階段状の変化をします．衝突回数が増えるほどV_0の値の条件は大きくなっていくでしょう．

つまり，初速V_0が大きければ大きいほど物体は何回か箱の中を往復して，相対速度が0になるところで摩擦力が消えるのでそこで物体と箱は一体となって動いていくでしょう．その速度は重心の速度でやはりV_0/2で，運動エネルギーの減少
も-(1/4)mV_0^2となります．これは摩擦力のした仕事で熱エネルギーとなったのでしょう．

(1)でも同じ運動エネルギーの減少が見られますが，これは跳ね返り係数0<e<1のため非弾性衝突が起こり，最終的には同じ重心運動に落ち着いたからです．これは非弾性衝突によって熱エネルギーになったのでしょう．

(1)(2)ともに箱と物体を合わせた力学系には外力が働いていないので同じ重心の運動をします．しかし，内部的には(1)は非弾性衝突，(2)は摩擦によるエネルギーの散逸がおこり，終状態は同じなので，運動エネルギー減少は同じになったわけです．一般に，内部構造を解析することは難しい場合が多いです．摩擦や非弾性衝突のミクロな機構はかなり難しいです．ただ，この問題は理想化されているので解析的にもきちんと解くことが可能です．

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます。

お礼日時：2012/10/01 23:19

No.6 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/09/28 09:56

ANo.5です。

度々すみません。
21行目の重心の運動方程式は
(m+m)dV/dt=0
が正しいです。後の結果には影響しません。

No.5 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/09/27 19:38

ANo.1です．すいません，勘違いしていましたのでもう一度．

(2)まず理想化された仮定から打撃で与えられた打撃で箱だけが速度V_0を得て全運動量がmV_0．最初の衝突までの間，箱と物体の速度V_1(t),V_2(t)について

mV_1(t)+mV_2(t)=mV_0 V_1(t)+V_2(t)=V_0

また箱と物体の運動方程式から，

mdV_1/dt=-μmg∴V_1(t)=V_1(0)-μgt=V_0-μgt∴X_1(t)=V_0t-(1/2)μgt^2
mdV_2/dt=μmg∴V_2(t)=μgt∴X_2(t)=(1/2)μgt^2

この式から箱は物体からの摩擦力より減速し，物体は箱からの摩擦力より加速することがわかります．もちろん，重心の速度V(t)は外力が働かないから

mdV/dt=(外力の和)=0∴V(t)=V(0)={mV_1(0)+mV_2(0)}/(2m)=V_0/2

で一定です．衝突が起こる前にV_1(t)=V_2(t)となると摩擦力は0になります．この時刻は

t_0=V_0/(2μg)

です．このとき物体は箱の先端から

X_1(t_0)-X_2(t_0)=V_0t_0-μgt_0^2=V_0^2/(2μg)-V_0^2/(4μg)=V_0^2/(2μg)

だけ進んでいます．これはL以下でなければならず，

V_0^2/(2μg)≦L, V_0≦√(2Lμg)

つまり，初速がこの条件を満たせば弾性衝突は起こらず，箱と物体は同じ速度

V_1(t_0)=V_2(t_0)=μgt_0=V_0/2

で運動し続けます．運動エネルギーの減少は

｛(1/2)m(V_0/2)^2+(1/2)m(V_0/2)^2｝-(1/2)mV_0^2=-(1/4)mV_0^2

です．

もし，V_0>√(2Lμg)なら弾性衝突が起こり，物体は箱の先端に向かいます．このとき，摩擦力は向きが反対になります．それぞれの速度は弾性衝突であることを利用すれば求められると思います．2回目の衝突が起こるかどうかの条件も同様に求められるでしょう．難しいのはn回の衝突が起こるための初速V_0の下限値を求めることでしょう．

いずれにしろ，初速V_0が大きければ大きいほど物体は何回か箱の中を往復して，相対速度が0になるところで摩擦力が消えるのでそこで物体と箱は一体となって動いていくでしょう．その速度は重心の速度でやはりV_0/2で，運動エネルギーの減少
も-(1/4)mV_0^2となります．これは摩擦力のした仕事で熱エネルギーとなったのでしょう．

No.4 回答者： foomufoomu 回答日時： 2012/09/27 10:02

無限時間後にも箱は動いていることから、箱と床の摩擦は０ということでしょうね。

この問題を解くには、跳ね返り係数も、摩擦係数も必要ありません。
必要なのは、「外部から力が与えられない限り、系の中の物体の運動量の合計は一定である」という法則だけです。

最初に打撃で速度Voを得るのは箱だけなので、系の運動量はm*Voです。
摩擦にしろ、跳ね返り係数にしろ、系のエネルギーを損失することに変わりないので、最終的に箱(質量m)と内部の物体(質量m)の速度の差はなくなります(この状態がエネルギー最小。あるいはこの状態になると摩擦、反射によるエネルギー損失がなくなる)。この時も運動量は変わらないので、
m*Vo=(m+m)*Vn　
これより　Vn=1/2Vo　になります。

つまり導出式の
＞また、運動量保存則よりVn+vn=V0
は、Vn*m+vn*m=Vo*m が正しいです。

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2012/09/27 08:17

＃２です。

＞一体となって運動するようになるまでに箱が移動する距離はいくらになるでしょうか。計算できますね。箱の大きさがこの距離よりも短ければ物体は箱の壁にぶつかります。


これは正しくありません。

変更

一体となって運動するようになった時までに箱が移動する距離Ｄはいくらになるでしょうか、物体の移動した距離ｄはいくらになるでしょうか。計算できますね。
初めの間隔Ｌが　ｄ＋Ｌ≧Ｄを満たしていなければ物体は箱の壁にぶつかります。

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2012/09/27 07:00

（２）

摩擦と衝突の２つがあると考えにくいですね。

まず摩擦だけになる場合を考えてみます。
箱が十分に大きいとしてみて下さい。
・箱は摩擦力によって減速します。
・物体は摩擦力によって加速されます。
どこかで同じ速度になります。
その段階で箱と物体の相対運動はなくなります。運動摩擦力から静止摩擦力に変わりますのでそのまま相対速度がゼロのまま一体となって運動します。
この時の速度はＶｏ／２です。
エネルギーは(1/2)(２ｍ)(Ｖｏ/2)^2＝（ｍＶｏ^2）／４です。

Ｖｏ／２という速度は運動方程式を立てれば求めることができます。
床との摩擦による速度変化を衝突だと考えて運動量保存則から求めることもできます。両方が一体となって運動するのですからＶｏ／２はすぐに出てきますね。（運動量保存則は速度変化の原因になる力が作用・反作用の関係を満たしていれば成り立ちます。速度変化が瞬間的に起こる、起こらない、には関係しません。運動量保存則は重心運動の保存則だと考えることもできます。２つの物体の間に働く力は重心の運動を変えることは出来ないというものです。これだと一発でＶｏ／２が出てきますね。）

この時、一体となって運動するようになるまでに箱が移動する距離はいくらになるでしょうか。計算できますね。箱の大きさがこの距離よりも短ければ物体は箱の壁にぶつかります。
ここで初めて問題文に与えられている衝突が問題になるのです。弾性衝突だと仮定されています。質量が等しいですから速度の交換が起こります。衝突によって箱の方が遅くなります。
今度は箱は摩擦力で加速されます。物体は減速します。
衝突前の箱の運動の続きを物体がやります。衝突前の物体の運動の続きを箱がやります。
箱の大きさによって何回繰り返すかは変わってきますが相対速度がゼロになって一体となって動くようになる場所は箱が大きいとした時の場所と同じになるでしょう。

これをヒントにして計算してみて下さい。

＃１
＞最終的にはどちらも静止してしまいます．止まってしまうと言う意味で箱と物体は等速度になるのです

は誤りです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2012/10/01 23:21

No.1 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/09/27 04:58

(2)の導出は動摩擦係数が考慮されていません．μ=0なら導出のようになりますが，それでもvnの式はvn={V0-V0(-1)^n}/2となるはずです．その場合，(Vn,vn)は(V0,0)→(0,V0)を繰り返し，箱が動いて物体にぶつかりとまる，物体が動き箱にぶつかりとまる，というのを繰り返します．(-1)^nの極限は振動するのですが，それがこの運動の繰り返しに対応し，V0/2に落ち着くということはありません．確率云々ではありません．

(2)動摩擦係数がある場合，物体と箱の接触面で力学的エネルギーの散逸があるはずです．つまり，熱エネルギーになってしまい，最終的にはどちらも静止してしまいます．止まってしまうと言う意味で箱と物体は等速度になるのです．物体と箱の衝突は弾性衝突なのでエネルギー散逸はありません．

箱が動き出して(t=0)から最初の衝突(t=T)までのはこの運動方程式は

mdV/dt=-μmg,V(0)=V0
∴V(T)=V0-μgT,L=V0T-(1/2)μgT^2

最初の衝突前の箱の速度はV0ではなくV(T)を使わなければなりません．その後，次の衝突まで動摩擦の効果があるので箱と物体は減速の効果を受けます．以後繰り返し．