電池のする仕事とコンデンサーの静電エネルギー

はじめ、電池が繋がっていないコンデンサーAPとBPがあり、BPは接地されています。
APの容量をC/2 BPの容量をCとします。

また、はじめ、APの電荷はCV
BPの電荷は1/2CVとします。

いま、このコンデンサーに電圧Vの電池を２つ取り付けます。
その後十分時間が経過すると、
APの電荷は5/6CV BPの電荷は1/3CVとなります。

ここで、電池のした仕事を求めたいのです。

方法１
電池のした仕事は、⊿QVなので、
⊿Qは極板Aの電荷変化（Bの電荷変化）だから、
5/6CV-CV=-1/6CV
よって求める仕事は-1/6CV*2V=-1/3CV^2

方法2
第一法則より、外界の電池のした仕事は、
回路で発生した熱と内界の静電エネルギーの変化と等しいので、
求める仕事は、1/2［ 2*(5/6CV)^2/C + (1/3CV)^2/C - 2(CV)^2/C - (1/2CV)^2/C ］
=-3/8CV^2

しかしこの２つの方法で仕事が一致しません。
どこが間違っているのでしょうか。
数式が見づらくてすいません。CVは分子です。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： el156 回答日時： 2012/10/02 22:52

電池のした仕事として正しいのは方法１です。

方法2のようにコンデンサに蓄えられたエネルギーを計算すると、電池のした仕事より小さくなります。その差は、充電経路のどこかにある抵抗に消費されます。

もっと簡単な例で、電圧源Vから電荷Qを静電容量Cに充電したとき、電源から供給するエネルギーはQVですが、コンデンサに溜まるエネルギーはQV/2です。その差のQV/2は充電経路で消費されます。

充電経路に抵抗を入れて計算してみて下さい。抵抗の大きさによって充電に要する時間は変わりますが、一回の完全な充電に際して抵抗が消費するエネルギ－は抵抗の大きさに依存しません。抵抗が小さければ大きなエネルギーが瞬時に消費され、抵抗が大きければ小さなエネルギ－が長時間に亘って消費されますが、その総量は一定です。

理想的な電池は何があっても電圧が変わらないものとして定義され、理想的なコンデンサは端子間電圧が充電されている電荷に比例するものとして定義されます。理想的なコンデンサに理想的な電池を直接繋いでコンデンサの両端電圧を一瞬にして変化させようとすれば、定義によって電荷は一瞬に移動しなくてはなりません。そんなことは不可能ですから、理想的な電池を理想的なコンデンサに直接繋いではいけません。

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2012/10/03 09:00

質問の内容を整理してもらえませんでしょうか。

「電池のした仕事を求める時に２つの方法がある。
　その２つで結果が異なる。
　違いが生じる理由は何か、どちらの方法が正しいのか。」

という質問であれば
・コンデンサーは１つでいいはずです。・・・容量Ｃ
・電池も１つでいいはずです。・・・起電力Ｖ

あらかじめ帯電させておいた　という理由は何でしょう。
２つのコンデンサーの間で起こる電荷移動によるエネルギー変化を考えているのであれば、まずは電池の接続と切り離して考察する必要があります。
電池を接続する前の電荷の表現に、後で接続する電池の起電力Ｖが含まれているというのも分からないところです。