数学 幾何学？

学校で出された問題なのですが解答がなくて困っています。
できたら詳しく解説を載せて教えてください。

1．
A,B⊂R（A≠ø、B≠ø）とする
A+B＝｛z；∃a∈A,∃b∈B、z＝a+b｝とおく。このとき、A,Bが上に有界ならば、A+Bも上に有界でsup（A+B）＝supA+supBであることを示せ。

２．Rの部分集合Sがエウに有界ならば、上界の中に最小の上界が存在することを示せ。

３．数列｛an｝、｛bn｝が収束するとき、数列｛anbn｝も収束して、lim　n→∞（anbn）＝lim　n→∞an　lim　n→∞　bnであることを示せ。

以上よろしくお願いします

No.1 回答者： noname#171951 回答日時： 2012/11/11 23:15

学校で出された問題なのに、学校が解答を

出したらおかしいです。
解答はあなたが出さないと。

１．と２．　supの定義は？

３．本に載っている。

No.2 回答者： muturajcp 回答日時： 2012/12/01 05:23

2.

実数Rの定義の仕方によって示し方は異なる
1)実数Rの定義
Q=(全有理数)
B⊂Qに対してBの下界の集合を
L(B)={a∈Q|∀b∈B→a≦b}
R={A|A⊂Q,A≠φ,Q-A≠φ,A=L(Q-A)}
と「実数の集合」Rを定義する
{A,B}⊂Rに対して
A⊂BのときA≦BとRの順序≦を定義する
B⊂Aでないとき
B-A≠φとなり
a∈Aとすると
a∈A=L(Q-A)={a∈Q|∀b∈Q-A→a≦b}
だから
a≦b∈B-Aとなるbがある
b∈B=L(Q-B)={b∈Q|∀c∈Q-B→b≦c}
a∈Q-Bと仮定すると
b≦aとなりb=a∈Q-Bとなってb∈Bに矛盾するから
a∈B
A⊂Bとなるから
Rは全順序集合となる
2)
Rの部分集合Sが上に有界とする
3)B≠φを示す
B=L[∩_{A∈S}(Q-A)]
とすると
∀A∈S
∀a∈A=L(Q-A)∈S
∀c∈∩_{A∈S}(Q-A)に対してa≦cだからa∈B
B⊃A∈S,A≠φだからB≠φ…(1)
3)Q-B≠φを示す
Sが上に有界だから
C∈Rがあって∀A∈Sに対してA⊂C
d∈Q-C≠φに対して
d∈Q-C⊂∩_{A∈S}(Q-A)
b∈Bに対してb≦dだからB⊂L(Q-C)=C
Q-B⊃Q-C≠φだからQ-B≠φ
4)B⊂L(Q-B)を示す
b∈Bとすると
∀c∈Q-B⊂∩_{A∈S}(Q-A)に対して
b≦cだからb∈L(Q-B)
だからB⊂L(Q-B)…(2)
5)L(Q-B)⊂Bを示す
b∈L(Q-B)とすると
b∈Q-Bを仮定すると
∃c∈∩_{A∈S}(Q-A)
c<b
c∈Q-Bを仮定するとb≦cとなってc<bに矛盾するから
c∈B
c<d<bとなるd∈Qがある
d∈Q-Bを仮定するとb≦dとなってd<bに矛盾するから
d∈B=L[∩_{A∈S}(Q-A)]
c∈∩_{A∈S}(Q-A)
d≦cとなってc<dに矛盾するから
b∈B
→L(Q-B)⊂B…(3)
6)
(2)&(3)から
L(Q-B)=B
→B∈R
(1)から
∀A∈S→B⊃A∈S,だから
BはSの上界となる
CをSの上界とすると
∀A∈Sに対してA⊂Cだから
d∈Q-C≠φに対して
d∈Q-C⊂∩_{A∈S}(Q-A)
b∈Bに対してb≦dだからB⊂L(Q-C)=C
∴
BはSの最小上界となる
BがSの最小上界のときBはSの上限といい
B=sup(S)
と表す

1
A,B⊂R(A≠φ,B≠φ)
A+B={z|∃a∈A,∃b∈B,z=a+b}
A,Bが上に有界ならば
Aの上界をc
Bの上界をd
z∈A+B
とすると
∃a∈A,∃b∈B,z=a+b
a≦c
b≦d
だから
z=a+b≦c+d
となるから
c+dはA+Bの上界となるから
A+Bは有界となる
z∈A+B
とすると
∃a∈A,∃b∈B,z=a+b
a≦sup(A)
b≦sup(B)
だから
z=a+b≦sup(A)+sup(B)
となるから
sup(A)+sup(B)はA+Bの上界となり
sup(A+B)はA+Bの最小上界だから
sup(A+B)≦sup(A)+sup(B)
sup(A+B)<sup(A)+sup(B)
を仮定すると
sup(A+B)<c<sup(A)+sup(B)
となるcが存在する
c-sup(B)<sup(A)
だから
c-sup(B)<a≦sup(A)
となるa∈Aが存在する
c-a<sup(B)
だから
c-a<b≦sup(B)
となるb∈Bが存在する
c<a+b≦sup(A+B)<c
となって矛盾するから
∴
sup(A+B)=sup(A)+sup(B)

3.
lim_{n→∞}a_n=α
lim_{n→∞}b_n=β
とすると
∀ε>0
δ=min(ε,1)/(|α|+|β|+1)>0
→∃n_0(∀n>n_0→|a_n-α|<δ,|b_n-β|<δ)
|b_n|<|β|+δ
|(a_n)(b_n)-αβ|=|b_n(a_n-α)+α(b_n-β)|≦(|α|+|β|+δ)δ<ε
∴
lim_{n→∞}(a_n)(b_n)=αβ