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この図の赤いところの長さがdsinθなのですが、この赤いところの長さを二倍(つまり2dsinθ)したら波長になるのはなぜですか?

「ブラッグの条件が成り立つ理由」の質問画像

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A 回答 (3件)

光路差の意味がわからないのであれば,まずは光の干渉を学習してください.


X線も光と同じ電磁波の一種ですので光線の場合と同じ干渉条件が成り立ちます.

光源と観測点は十分に遠方にあるので,水色の二本の線はほぼ平行線で近似します.

上の原子面で反射する光線はO-A-Pと通過しますが,下の原子面で反射する光線はO-A'-Pと通過します.

点AからOA', A'Pに垂線を降ろしその足をB,Cとすると,光源Oが同一で平行線とみなせるのでO-AとO-Bの長さが等しくなります.

また,同様に観測点Pが同一点で平行線とみなせるのでA-PとC-Pの長さも等しいので上下の光線はB-A'-Cだけ通過する距離が異なっています.

これが光路差で,この光路差が波長の整数倍の場合に,A-Pの光とC-Pの光の山と山,谷と谷が一致することになるのでこの2本の光線は互いに強め合うことになります.

この条件を表しているのがブラッグの式です.
「ブラッグの条件が成り立つ理由」の回答画像3
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この回答へのお礼

ありがとうございました
分かりました

お礼日時:2012/12/24 12:12

一番上の格子面と二番目の格子面のそれぞれで反射した光線の通過した距離の差が赤い線の長さで,幾何学的な関係から片側dsinθ,両側で2dsinθなのは図から明らかですが.



それとも光路差の意味がわからないという質問ですか?

この回答への補足

一番上の格子面と二番目の格子面のそれぞれで反射した光線の通過した距離の差の意味も光路差の意味もわかりません
通過した距離ってどこを通過した距離ですか?

補足日時:2012/12/23 15:26
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二つの波の干渉を考えたときに、強め合う条件は光路差(つまり2dsinθ)が波長の整数倍(つまりnλ)になることです。

この回答への補足

光路差が2dsinθなのはなぜですか?

補足日時:2012/12/23 13:18
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ブラッグの式で使われるn次反射についてお聞きしたいのですが、
nは1からあるようなのですが、いまいちn次反射についてわかりません。
n次反射について詳しく教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

ブラックの反射式は
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ですね。
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質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
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t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
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ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
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これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

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Qラウエ条件とブラッグ条件

ラウエ条件からブラッグ条件を導出することについて躓いているので教えてください。

散乱される波数ベクトルをs 、基本ベクトルをa とするとラウエ条件は
(1) s・a = 2πn n∈整数
ですが、(1)の左辺の内積を書き換えると
(2) |s||a|cosθ = 2πn
となり、更に波数ベクトルを波長で表せば
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これがブラッグ条件に相当する、とX線回折の本には書いてあるのですが、ブラッグ条件は一般的に
(5) 2d sinθ = nλ
のようにサインの形で書かれておりどうやって一致させているのかが分からず困っております。
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Aベストアンサー

>散乱される波数ベクトルをs 、基本ベクトルをa とする
>とラウエ条件は
>(1) s・a = 2πn n∈整数
この(1)式は逆格子ベクトルと結晶の位置ベクトルの関係式を表していますね。つまり、sを「逆格子ベクトル」とし、dを結晶の位置ベクトルとすると
 s・d=2πn  (2)
が成り立ちます。
ラウエ条件は入射波の波数ベクトルをk1、反射波の波数ベクトルをk2、逆格子空間の原点から〈hkl)なる逆格子点に至るベクトルをs(hkl)とすると
  s(hkl)=△k  (3)
で表されます。ここでs(hkl)は
s(hkl)=ha* + kb* + lc*
で定義され、sは実格子の格子面(hkl)に垂直で大きさ|s|は(hkl)面の面間隔d(hkl)の逆数に等しいという性質をもっています(a*,b*,c*は逆格子ベクトル)。
いま、弾性散乱を仮定しますので
 |k1|=|k2|=|k|  (4)
とおけます。すると△kは(絵を書けばよく分かる)
 △k=2ksinθ  (5)
となります。波数ベクトルkはs方向を向いていますね。(3)より
 2ksinθ=s  (6)
両辺にベクトルdをかけると、(2)を使って  
 2kdsinθ=s・d=2πn  (7)
また、k=2π/λ であるから(7)は
 2(2π/λ)dsinθ=2πn
これから
 2dsinθ=nλ (8)
でいいと思いますが。

>散乱される波数ベクトルをs 、基本ベクトルをa とする
>とラウエ条件は
>(1) s・a = 2πn n∈整数
この(1)式は逆格子ベクトルと結晶の位置ベクトルの関係式を表していますね。つまり、sを「逆格子ベクトル」とし、dを結晶の位置ベクトルとすると
 s・d=2πn  (2)
が成り立ちます。
ラウエ条件は入射波の波数ベクトルをk1、反射波の波数ベクトルをk2、逆格子空間の原点から〈hkl)なる逆格子点に至るベクトルをs(hkl)とすると
  s(hkl)=△k  (3)
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Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
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となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
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 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
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 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
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Q格子定数の求め方教えてください!!

こんにちは。
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現在、斜方晶構造の格子定数を算出しようと勉強しているのですが格子定数a, b, cを求める式を作ることができません。ご存知の方教えて教えて下さい。
斜方晶の関係式は以下のようになります。
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また、格子定数を簡単に求められるソフトなどをお知りであれば教えて下さい。
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Aベストアンサー

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> 斜方晶の関係式は以下のようになります。

斜方晶だけでなく,正方晶でも立方晶でも成り立ちます。

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XRD などのブラッグの回折パターンから格子定数を精密に求めるには,通常,リートベルト解析という計算を行います。RIETAN というソフトが有名です。ただ,大雑把で良くて,点群が分かっていて面指数まで分かっているなら,電卓で十分計算できると思います。

Qブラッグの式を用いた回折角度の計算

結晶化学の問題を解いているのですが、数学が苦手なので計算方法を教えて下さい。

以下のデータをもとにブラッグの回折式を用いてシリコンとダイヤモンドの回折角度(2θ)を計算せよ。
波長λ=154.0598pm、表のX線強度は、最も強いX線回折ピークを100とした時の相対強度です。
面間隔はpm単位です。
<データ>    
Si
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  結晶面(220) 強度(55)  面間隔(192.01)
C
  結晶面(111) 強度(100) 面間隔(206)
  結晶面(220) 強度(25)  面間隔(126.1)

*分からないこと
  ・ブラッグの式中の「n」はどの数値か
  ・各数値を式に代入して求めたsinθの数値から2θを求める計算


よろしくお願いします。

Aベストアンサー

> ・ブラッグの式中の「n」はどの数値か

1かもしれないし2かもしれない.もちろん3かもしれないし4かもしれない.
ひとつの格子から n の異なる複数の回折が観察されても不思議でもなんでもない.

> ・各数値を式に代入して求めたsinθの数値から2θを求める計算

関数電卓で sin-1 キーを使ってθを出して2倍する.
電卓がない → 買いなさい.
電卓の使い方がわからない → マニュアルを読みなさい.

Qブラッグ法則からの回析角の求め方

ニッケルの結晶はfcc構造で、その格子定数はa=3.25オングストロームである。波長λ=1.54オングストロームのX線を用いたとき、(100),(111),(200),(210)面の回析角が何度になるかを、ブラッグ法則から計算せよ。また、なぜ(100)反射は現れないかを考えよ。

この問題の解き方がわかりません。教えてください。

Aベストアンサー

(100),(111),(200),(210)面の面間隔がわかればよいでしょう。
格子定数aの立方格子の場合、(hkl)面の面間隔dは
d=a/√(h^2+k^2+l^2)
です。(なぜそうなるのかは教科書に書いているはずです)

>なぜ(100)反射は現れないかを考えよ。
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Q高校物理 ブラッグ条件について

高校物理のブラッグ条件について質問させていただきます。
画像を添付しましたのでご覧いただけますでしょうか。
点線部分を格子面とした場合を考えます。この時原子は縦に並んでいません。
X線が原子で反射したとすると、その経路差は図のように、
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これだと経路差が2dsinθにならないんじゃないかと思います。
いろいろ計算しようとしましたが、経路差をうまく計算できませんでした。

それでいろいろ教科書、参考書などで調べたところ、原子が縦に並んでいなくても
格子面のどこでも光は反射すると考えてよいみたいな説明がありました。
しかしなぜそのように考えていいのかは触れておりませんでした。

原子がないところでなぜ光は反射できるのか?この点どのように理解していいのか
教えてください。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

質問者の図での経路差も2dsinθとなります。
図の下側で散乱している原子から上の面に下した垂線の足の点での反射を考えてみれば下の原子で散乱されたものとの経路差が2dsinθとなることはわかるでしょう。
今考えた反射と同一面内の横の原子での散乱を比較して経路差を計算してみましょう。
簡単な補助線2本で経路差が"0"であることがわかります。
以上のことから質問者の図での二つの散乱の経路差は2dsinθとなることがわかります。

このような線を引かずに直接証明する方法は
http://tachiro.client.jp/theorem/theorem-058-BraggReflection.pdf
をご覧ください。

Bragg条件の導出は面での反射などという考えではなく、1個1個の原子からの散乱をすべて足し合わせるという方法で行います。
この方法で計算すると散乱が強めあう条件としてLaue条件というものが出てきます。
このLaue条件はBragg条件と等価であることが簡単に示せます。
その計算をここで示すのは少し面倒なのでそのことを実際に示しているサイトを見てください。
http://www.crl.nitech.ac.jp/~ida/education/structureanalysis/5/5.pdf
このサイトは高校生にはわかりにくいとは思います。わからないならそんなもんなんだと思ってください。

質問者の図での経路差も2dsinθとなります。
図の下側で散乱している原子から上の面に下した垂線の足の点での反射を考えてみれば下の原子で散乱されたものとの経路差が2dsinθとなることはわかるでしょう。
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簡単な補助線2本で経路差が"0"であることがわかります。
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Q六方最密格子の充填率の求め方

六方最密格子の充填率の求め方が分りません。今分っているのは面心立方格子と同じ0.74となることくらいです。
立方格子の場合は、原子を半径rの球体と考えて立方体の体積をrの式で求め、立方体内に含まれる原子の体積を求め、充填率を出しました。
六方の場合は…、同じようにやれると思うのですが、六角柱の体積をどう求めたらいいのか分りませんし、原子も一つがどれだけ立体内にあるのかも想像しにくいです。
解き方分る方ご教授願います。

Aベストアンサー

下記URLを参照ください.

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AD%E6%96%B9%E6%9C%80%E5%AF%86%E5%85%85%E5%A1%AB%E6%A7%8B%E9%80%A0

Q格子定数教えてください!

LiF、Si、GaAs、NH4Br
の格子定数を知りたいのですが、教科書にもネットにも載ってなくて困っています。。教えていただけませんか??

Aベストアンサー

LiF 岩塩構造 a=4.02Å
Si ダイヤモンド構造 a=5.42
NH4Br CsCl構造 a=4.05
以上化学大辞典(共立出版)より。

GaAs 閃亜鉛鉱構造 a=5.65
http://www.crystals.jp/GaAs.html
より。

でした。


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