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求める積分をIとし,いずれも極座標変換します.
x^2+y^2=r^2
dxdy=rdrdθ
[1]D:r≧0,0≦θ≦πですから
I=∫_0^πdθ∫_0^∞drr{1/(1+r^2)}^{a/2}
=π∫_1^∞(1/2)d(1+r^2)(1+r^2)^{-a/2}
=(π/2)∫_1^∞duu^{-a/2}
これから収束するためにはa/2>1であることが必要十分で
I=(π/2)[u^{1-a/2}/(1-a/2)]_1^∞=π/(a-2) (a>2)
[1]D:0<r≦1,0≦θ≦2πですから
I=∫_0^{2π}dθ∫_0^1drrlog(r^2)
=4π∫_0^1drrlog(r)=4π∫_0^1dr(r^2/2)'log(r)
=4π[(r^2/2)log(r)|_0^1-∫_0^1dr(r^2/2)(1/r)]
=4π[-∫_0^1drr/2]=4π(-1/4)=-π
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