整数問題です

自然数a,b,cについて以下の不等式が成り立っているとき、次の問いに答えよ。
a>b>c　　　　ab+1≦abc≦ab+bc+ca+1
　　(1)cの範囲を求めよ。
　　(2)a,b,cの組をすべて求めよ。　

お願いします!!

No.2 ベストアンサー 回答者： t932 回答日時： 2013/02/11 21:02

ab+1≦abc≦ab+bc+ca+1

abc≦ab+bc+ca+1<ab+ab+ab+1=3ab+1
abc<3ab+1より　c<3
よってc=1か2しかない

c=1とすると　ab+1≦abc=ab だからなりたたない
c=2しかない

2ab=abc≦ab+bc+ca+1=ab+2a+2b+1
2ab≦b+2a+2b+1
(a-2)(b-2)≦5

あとはa>b>2を考慮して a=4 b=3 ,a=5 b=3, a=6 b=3, a=7,b=3

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2013/02/11 21:39

No.1 回答者： berokanda 回答日時： 2013/02/11 21:00

ab+1≦abcより、1≦ab(c-1)だからc≧2となり、b≧3、a≧4です。

もう一つの不等式に当てはめると2ab≦abc≦ab+bc+ca+1となります。

変形して(a-2)(b-2)≦5とします。
aやbが有限個しかないことがわかりました。

上記は必要条件なので、候補となる組をチェックして十分性も満たす
候補だけ残せば終わりです。

5組ありますが結果は書きませんので自力でやってみてください。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2013/02/11 21:46