積分区間に定義域外の値が含まれる？

Integral_[π/3]^[x] t f(t) dt = cos(2x) + k
を満たす関数 f(x) と定数 k の値を求めよ。

という、積分で表された関数の問題について教えてください。


まず、k の値については、両辺の x にπ/3 を代入することで
0=cos(2π/3)+k より、 k=-1/2
とできました。

f(x)についてわからず、解説に頼ったところ、

両辺をxで微分して
x f(x) = -2sin(2x)
したがって、f(x)=-2sin(2x)/x　★

としていますが、x=0の場合を特別に考えなくていいのでしょうか？

”特別に考える”なんてわかったように書いていますが、
よくわからずにいます。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/02/18 12:23

>まず、k の値については、両辺の x にπ/3 を代入することで

>0=cos(2π/3)+k より、 k=-1/2
>とできました。
cos(2π/3)=-1/2なので「k=-1/2」は間違い。正しくは
「k=1/2」です。

>x=0の場合を特別に考えなくていいのでしょうか？
>x f(x) = -2sin(2x) ...(▲)
>したがって、f(x)=-2sin(2x)/x　...(★)

１つの解釈として
●通常は積分範囲の上限は、積分範囲の下限以上であるという立場（出題者の考え方に依存）であればx≧π/3と考えられますのでx≠0と考えてよい。

もう１つの解釈として
積分区間の上限が積分の区間の下限よりちいさくなることを許容する立場（出題者の考え方に依存）なら
(▲)の式に戻って考えれば良いでしょう。
x=0のときは　　0*f(0)=0
となるので　f(0)が有限値なら何でも良いということになります。
　f(x)=-2sin(2x)/x (x≠0のとき)
　　　=C (任意の定数)(x=0のとき)
となります。

問題に「f(x)が連続関数(x=0でも連続)」という条件があれば
　f(x)=-2sin(2x)/x (x≠0のとき)
　　　=-4 (x=0のとき)
となります。

この回答へのお礼

※　k=1/2　ですね。


＞　x=0のときは　　0*f(0)=0
＞　となるので　★f(0)が有限値★なら何でも良いということになります。
＞　f(x)=-2sin(2x)/x (x≠0のとき)
＞　　　=C (任意の定数)(x=0のとき)
＞　となります。

＞　問題に「f(x)が連続関数(★x=0でも連続★)」という条件があれば
＞　f(x)=-2sin(2x)/x (x≠0のとき)
＞　　　=-4 (x=0のとき)
＞　となります。

とてもわかりやすい説明ですっきりしました。
f(0)が有限か±無限大かという視点は、なかなか思いつきませんでした。
また、ｘ＝０でも連続関数と考えるならば、極限操作でｘ＝－４となることも理解できました。

最初の方が回答に挙げてくれた広義積分もそうだと思いますが、
微分や積分は、∞や極限の感覚が本当に大事なのですね。


ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/18 14:39

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/02/18 11:01

定義されない点が連続すると困るけど, 今回のように「1点で定義できない」というだけならその定義できない点を除外することができます.

細かいところは「広義積分」なんかを調べてください.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

広義積分については、
理解するのには時間がかかりそうですが、
端点のみが不連続でもよいということが
なんとなくわかりました。

お礼日時：2013/02/18 14:28