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tan36°の、以下による算出方法を教えてください。


sin36°= {√(10-2√5)}/4
cos36°= (√5+1)/4
を用いて、

tan36°= sin36°/cos36°
     = √(5-2√5)
を算出する方法です。

分母分子を4倍した後、分母の有理化をするのだろうと思いますが、
二重根号を含む数の演算がわかりません。
中学3年の平方根の計算を、完全に理解しきれていないのかもしれません。


余談ですが
現在学習中のテキストは「13th-note」というWEBテキストです。
今回行き詰まっている該当ページは、ちょうど以下リンク先の、

> tan36°・・・= (計算省略)= √(5-2√5) 

の所です。
この「省略」されている部分を知りたいのです。
宜しくお願いします。

http://ja.ftext.org/36%C2%B0,72%C2%B0%E3%81%AA%E …

A 回答 (3件)

a ≧ 0 のとき a = √(a^2).

この回答への補足

【2013/03/14 午前 03:55 追記補足】
この欄で補足するのは適切ではないと思いますが、
現在の質問者の理解度をご報告したく思います。

Tacosan様のご回答No.2を頂いた後、
頂戴したヒントから、おかげさまで
以下までは変形できました。


分母分子に(√5 - 1)を掛けた後、

= 〔 {√(10 - √20 )} (√5 - 1) 〕 /4

= 〔 {√(10 - √20 )} {√(√5 - 1) ^2} 〕 /4
 
= 〔 √ { (10 - 2√5 ) (5 - 2√5 + 1) } 〕 / √16

= 〔 √{ 80 - 32√5 } 〕 / √16

  まで変形させる事が出来ました。
とりあえず引き続きこれを解いていきます。
ですが、今度は小学生レベル? の計算方法に不安な箇所が
見いだされました。約分の可否が不安です。

この続きを
=  √ 〔 ( 80 / 16) - { (32√5 ) / 16 } 〕

= √ ( 5  - 2√5  )
                      
としてよろしいのでしょうか。

補足日時:2013/03/14 03:56
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この回答へのお礼

ヒントを授かりましてありがとうございます。

‥ですがまだ理解できません。
分母分子に(1-√5)を掛けようとは思うのですが、
その後、分子の(1-√5)・{√(10-2√5)}の計算方法が
わからないのです。

もしかして、分母分子に(1-√5)を掛けるこの方法は、
間違っているのでしょうか?

お礼日時:2013/03/14 00:59

それで OK です.

この回答への補足

確かに 1-√5 で有理化してしまっては、
直後から全体が負の数になってしまうだけでなく、
1-√5 < 0 なので
double根号の数とsingle根号の数の積を計算する際に、
後者を前者の形に変形出来なくなるんですね。


昨晩はこちらのサイトに来る前に30分以上WEB検索しても
HITするものがなく、途方に暮れて質問した次第です。

完答ではなく手短にヒントを頂く、という体裁で
手ほどきを頂戴出来た事は、
今思えば非常にありがたき事でした。当意即妙なご回答でした。
おかげさまで、自力で解ききったかのような喜びを味わえました。
心より感謝いたします。



後は余談になりますが、
夜明け前の投稿(No.1のお返事追記)で書きました箇所について
私が約分に自信が無いのは、分数計算や平方根の数の計算に
理解が浅いからです。


例えば、

   2√10 / (3√5)      
= (2・2) / (3・1)
が誤りであり、
正しくは分母を有理化するか、あるいは

   2√10/(3√5)      
= √40/√45
= √(40/45)
= √(8/9)
= (2√2)/3

のように考えるべきなのだ、とか


√a - √b が √(a - b)  と同値でないはずなのに

    √(5/2)  - √(1/2)   が、
 
これ以上簡単に出来ない式ではなく、
                      
  = (√5 - √1 ) / √2    

なのである、とかを知ったのは、ごく最近です。


そのような現状ゆえ、夜明け前の投稿箇所を

  〔 √{ 80 - 32√5 } 〕 / √16

=  √ { ( 80 - 32√5 )   / 16 }

=  √ 〔 ( 80 / 16) - { (32√5 ) / 16 } 〕

= √ ( 5  -  2√5 )

 とするより、

  〔 √{ 80 - 32√5 } 〕 / √16

=  √ { ( 80 - 32√5 )  / 16  }

=  √ 〔 16・( 5 - 2√5 )  / 16  〕

= √ ( 5  - 2√5  )

と解くほうが、今の私には合っているようです。

補足日時:2013/03/14 16:33
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この回答へのお礼

たびたびの補足で済みません。

分母の有利化の際に (1 - √5 ) を掛けても、
手間は掛かるけれど大丈夫なのですね。

分母「-4」の負の符号を全体の前に出し、
その後、負の符号を「-1・」に変形させて
分子の (1 - √5 ) に掛け合わせれば、
分子の(1 - √5 )は( √5 - 1) に変わり、
結局分母の有利化の際に(1 - √5 )でなく
( √5 - 1)を掛けた場合と
同じ形に変形できる、
ということを理解出来ました。


このたびは本当にありがとうございました。

お礼日時:2013/03/14 16:55

どっちかというと 1-√5 ではなく √5-1 を掛けた方がいいかなぁ.



√5-1 ≧ 0 に注意.

あ, あと, 例えば 3√2 = √(3^2×2) = √18 はいい?

この回答への補足

NO.2の
ご回答へお返事さしあげた内容に、訂正がございます。

【誤】分母を{√(10-√20)}(√5-1)に変形させて思案しています。
【正】分子を{√(10-√20)}(√5-1)に変形させて思案しています。

補足日時:2013/03/14 02:01
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この回答へのお礼

再度のヒントを頂戴しまして、ありがとうございます。

3√2 = √18 は理解できます。

ですが、まだ疑問解決に至れません。
分母を{√(10-√20)}(√5-1)に変形させて思案しています。


そして、その前に
1-√5 を掛ける場合と、 √5-1 を掛ける場合で
有理化の結果が変わるんですね。確かに分母の符号が変わります。
思いもよらなかった発見です。 
ありがとうございます。

お礼日時:2013/03/14 01:55

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