No.1ベストアンサー
- 回答日時:
Z=(X,Y)ではなく、Z=f(X,Y)(←ZはXとYの関数)でしょうか?。
以下、そうだとしてですが・・・。そうなると、数学的な証明というより、状態量の定義をちゃんと理解してるかどうかを、問われてる事になります。
Z=f(X,Y)において、Zの値が(X,Y)平面上での「(X,Y)の位置だけ」で決まる時、Zを(X,Y)によって決まる「状態量」と言います。Z=f(X,Y)なんだから、そんなの当たり前じゃないか、と思うかもしれませんが、一般にはそうではありません。
そのために講義では、点(X,Y)がある経路Cに沿って進んだら、Zの変化はこうなるみたいな例が、沢山出て来ませんでしたか?。経路Cが閉じた例(円のように)は、特に注目されませんでしたか?。
閉じた経路を一周して出発点に(X,Y)が帰って来た時、最初のZ=f(X,Y)と後のZ=f(X,Y)が違うような例は、ありませんでしたか?。そんような場合、Z=f(X,Y)の値は本当は、「(X,Y)の位置だけ」では決まらず、経路依存になります。本当は、Z=f(X,Y,経路)な訳です。このような場合には、(X,Y,Z)は非状態量です。
しかしf(X,Y)の式を見た瞬間に、それを判断し難い場合もあるので、質問にあるような状態量になる条件を導きます。(X,Y,Z)が状態量の時、「状態(X,Y)においてZは、Z=f(X,Y)という値を取る」などと言います。
またZ=f(X,Y)や、それと等価なS(X,Y,Z)=0の形を、「状態方程式」と言います。代表はもちろん、理想気体の状態方程式です。Z:温度,X:圧力,Y:体積みたいな感じです。
という訳で(X,Y,Z)が状態量なら、Z=f(X,Y)として「普通の関数」を考えれば良い事になります。「普通の関数 Z=f(X,Y)」では、全微分の公式から、
dZ=(∂f/∂X)dX+(∂f/∂Y)dY
なので、
P=∂f/∂X , Q=∂f/∂Y
です。偏微分の順序交換則より、
∂P/∂Y=∂^2f/(∂X∂Y)=∂^2f/(∂Y∂X)=∂Q/∂X (1)
になります。
逆に条件(1)から、f(X,Y)が普通の関数である事(←(X,Y)に関するポテンシャルになると言います)を、数学的に導けますが、まぁ~そこは、暇な時にでも(^^)。
またZ=f(X,Y)がポテンシャル(普通の関数)なら、Y=g(Z,X)もX=h(Y,Z)も、数学的に不運なケースを除けば大抵ポテンシャルになります。なので(X,Y,Z)は状態量、という訳です。これも暇な時に、ちょっと考えてみて下さいね。でも、理想気体の状態方程式でも思い浮かべれば、明らかですよね(^^)。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 【全微分について】 z=f(x,y) の全微分は df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy と表 1 2023/02/25 05:49
- 数学 原始関数の存在性の証明について 数学科の3回生です。院試の勉強でつまづいたので助けてほしいです。 R 6 2022/11/13 19:19
- 数学 数学微分方程式の問題です。次に書く問題を教えて欲しいです。質量mの物体が自然長l、ばね定数kのバネで 1 2022/04/29 21:23
- 数学 【数学ⅲ微分】e^xの微分と、x^pの微分の違いがわかりません… 6 2022/07/07 21:31
- 物理学 統計力学における平衡状態の定義について 4 2022/12/27 01:47
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
- 物理学 無限に深い井戸におけるエネルギーと運動量の分布の矛盾 量子力学 3 2023/01/28 02:10
- 物理学 『数か物か』 4 2022/06/13 06:54
- 中学校 中3の数学の問題の四季と計算の利用という分野の問題がいくつか分かりません 助けてくださいm(_ _) 2 2022/05/05 21:23
- 物理学 天体の内部の重力について。 6 2023/05/26 20:37
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
自然数 整数 有理数 実数 加法 ...
-
皆さん定義を教えてください 「...
-
三角関数(たとえばf(x)=sinxと...
-
無限から無限を引いたら何にな...
-
ネットストーカーの定義 最近SN...
-
「logx^2=2logx」が間違って...
-
1未満と1以下の違い
-
ACCESS IIF関数 複数条件の設...
-
ACCESS VBAでインポート定義の場所
-
べき乗
-
定義付けできない言葉について
-
p⇒q=(¬p)∨qについて
-
「互いに素」の定義…「1と2は互...
-
日本語 ことば ひとまわり ふた...
-
e<3の証明を教えてください。
-
集合間演算に関する質問
-
変数の宣言の名称を教えてくだ...
-
負の階乗 (-1/2)! =√π
-
ヘシアンが0の場合どうやって極...
-
複雑な家庭とは
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
皆さん定義を教えてください 「...
-
べき乗
-
無限から無限を引いたら何にな...
-
1未満と1以下の違い
-
p⇒q=(¬p)∨qについて
-
「logx^2=2logx」が間違って...
-
数字の1とは何なのか?
-
「互いに素」の定義…「1と2は互...
-
変数の宣言の名称を教えてくだ...
-
ACCESS VBAでインポート定義の場所
-
日本語 ことば ひとまわり ふた...
-
ACCESS IIF関数 複数条件の設...
-
Excelファイルの「数式」タブ→...
-
e<3の証明を教えてください。
-
なぜ小数は自然数ではないので...
-
ヘシアンが0の場合どうやって極...
-
2進数の符号ビットの入った数...
-
最大元と極大元の定義の違いが...
-
eの0乗は1ってどういう原理です...
-
フーリエ級数展開の初項はなぜa...
おすすめ情報